Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm trong Oxyz

Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm trong không gian Oxyz là bài toán nền tảng của hình học giải tích lớp 12 — xuất hiện trong hầu hết các đề thi từ trắc nghiệm đến tự luận. Bản chất là tìm vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng của hai vectơ trong mặt phẳng, rồi viết phương trình qua một điểm đã biết. Bài viết này trình bày quy trình 4 bước chuẩn, công thức tích có hướng đầy đủ, trường hợp đặc biệt phương trình theo đoạn chắn, năm ví dụ mẫu từng bước và checklist phát hiện lỗi sai.

Cơ Sở Lý Thuyết — Tại Sao Dùng Tích Có Hướng?

Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng được xác định hoàn toàn. Để viết phương trình, cần tìm vectơ pháp tuyến n — vectơ vuông góc với mặt phẳng.

Vì cả hai vectơ AB và AC đều nằm trong mặt phẳng (P), tích có hướng n = [AB, AC] vuông góc với cả AB lẫn AC — nghĩa là n vuông góc với mặt phẳng (P). Đây chính là vectơ pháp tuyến cần tìm.

Công Thức Tích Có Hướng [AB, AC]

Cho AB = (b₁; b₂; b₃) và AC = (c₁; c₂; c₃). Tích có hướng:

n = [AB, AC] = (b₂c₃ − b₃c₂; b₃c₁ − b₁c₃; b₁c₂ − b₂c₁)

Hay tính bằng định thức 3×3 với hàng đầu là (i; j; k):

|i j k |
|b₁ b₂ b₃| → n = (b₂b₃ theo quy tắc sarrus)
|c₁ c₂ c₃|

Thành phần từng chiều khai triển theo hàng đầu:

• n_x = b₂c₃ − b₃c₂
• n_y = −(b₁c₃ − b₃c₁) = b₃c₁ − b₁c₃ (có dấu trừ phía trước)
• n_z = b₁c₂ − b₂c₁

Quy Trình 4 Bước Chuẩn

Cho ba điểm A(x₁;y₁;z₁), B(x₂;y₂;z₂), C(x₃;y₃;z₃) không thẳng hàng:

• Bước 1 — Tính vectơ AB và AC:

  AB = (x₂−x₁; y₂−y₁; z₂−z₁) và AC = (x₃−x₁; y₃−y₁; z₃−z₁)

• Bước 2 — Tính vectơ pháp tuyến n = [AB, AC]: Dùng công thức định thức. Kết quả n = (A; B; C).
• Bước 3 — Viết phương trình mặt phẳng qua A nhận n làm pháp tuyến:

  A(x − x₁) + B(y − y₁) + C(z − z₁) = 0

  Khai triển và rút gọn thành dạng Ax+By+Cz+D=0.
• Bước 4 — Kiểm tra: Thay tọa độ B và C vào phương trình vừa viết. Cả hai phải cho kết quả bằng 0.

Ví Dụ 1 — Bài Cơ Bản

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; −2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; −2).

• Bước 1: AB = (0; 3; 1), AC = (−1; 3; −2).
• Bước 2: n = [AB, AC]:
  • n_x = 3×(−2) − 1×3 = −6 − 3 = −9.
  • n_y = −(0×(−2) − 1×(−1)) = −(0+1) = −1.
  • n_z = 0×3 − 3×(−1) = 0+3 = 3.
  n = (−9; −1; 3). Chia cho −1: dùng n = (9; 1; −3) cũng được (cùng phương).
• Bước 3: (P): −9(x−1)+(−1)(y+2)+3(z−0)=0 → −9x+9−y−2+3z=0 → −9x−y+3z+7=0 hay 9x+y−3z−7=0.
• Bước 4 Kiểm tra B(1;1;1): 9×1+1−3×1−7 = 9+1−3−7 = 0 ✓. Kiểm tra C(0;1;−2): 0+1+6−7 = 0 ✓.

Ví Dụ 2 — Ba Điểm Cho Tọa Độ Có Số Âm

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(2; 0; −1), B(1; −2; 3), C(0; 1; 2).

• AB = (−1; −2; 4), AC = (−2; 1; 3).
• n_x = (−2)×3 − 4×1 = −6 − 4 = −10.
• n_y = −((−1)×3 − 4×(−2)) = −(−3+8) = −5.
• n_z = (−1)×1 − (−2)×(−2) = −1 − 4 = −5.
• n = (−10; −5; −5). Chia cho −5: n = (2; 1; 1).
• (P): 2(x−2)+1(y−0)+1(z+1)=0 → 2x−4+y+z+1=0 → 2x+y+z−3=0.
• Kiểm tra B(1;−2;3): 2−2+3−3=0 ✓. Kiểm tra C(0;1;2): 0+1+2−3=0 ✓.

Phương Trình Theo Đoạn Chắn — Trường Hợp Đặc Biệt

Khi mặt phẳng cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c ≠ 0:

x/a + y/b + z/c = 1

Đây gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn — a, b, c là các đoạn chắn trên ba trục tọa độ.

Cách nhớ: Mỗi điểm trục có một tọa độ khác 0 (gọi là đoạn chắn), phương trình là tổng ba phân số (tọa độ chia đoạn chắn tương ứng) bằng 1.

Ví Dụ 3 — Phương Trình Theo Đoạn Chắn

Đề bài: Mặt phẳng (α) cắt ba trục tọa độ tại A(2;0;0), B(0;−3;0), C(0;0;4). Viết phương trình (α).

• a=2, b=−3, c=4. Phương trình đoạn chắn: x/2 + y/(−3) + z/4 = 1.
• Nhân hai vế với 12 (BCNN của 2, 3, 4): 6x − 4y + 3z = 12.
• Phương trình tổng quát: 6x − 4y + 3z − 12 = 0.

Ví Dụ 4 — Ba Điểm Trên Trục Tọa Độ Suy Luận Từ Bài Cho

Đề bài: Cho A(1;0;0), B(0;3;0), C(0;0;5). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ gốc O đến (ABC).

• Dùng phương trình đoạn chắn: x/1 + y/3 + z/5 = 1 → nhân với 15: 15x + 5y + 3z = 15 → 15x + 5y + 3z − 15 = 0.
• Pháp tuyến n = (15; 5; 3). Khoảng cách từ O(0;0;0): d = |0+0+0−15|/√(225+25+9) = 15/√259 = 15√259/259 ≈0,93.

Ví Dụ 5 — Phức Tạp Hơn: Tìm Điểm Rồi Viết Mặt Phẳng

Đề bài: Cho M(1;3;2), N(5;2;4), P(2;−6;−1). Viết phương trình mặt phẳng (MNP). Tính A+B+C+D nếu phương trình là Ax+By+Cz+D=0.

• MN = (4;−1;2), MP = (1;−9;−3).
• n_x = (−1)×(−3) − 2×(−9) = 3+18 = 21.
• n_y = −(4×(−3) − 2×1) = −(−12−2) = 14.
• n_z = 4×(−9) − (−1)×1 = −36+1 = −35.
• n = (21; 14; −35). Chia cho 7: n = (3; 2; −5).
• (P): 3(x−1)+2(y−3)+(−5)(z−2)=0 → 3x−3+2y−6−5z+10=0 → 3x+2y−5z+1=0.
• A+B+C+D = 3+2+(−5)+1 =1.

Tham khảo thêm ví dụ và bài tập tổng hợp tại viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm cực hay trên VietJack và chuyên đề đầy đủ tại chuyên đề phương trình mặt phẳng đầy đủ trên ToanMath. Xem thêm tích có hướng của hai vectơ công thức và ứng dụng để ôn lại cách tính định thức 3×3, và hướng dẫn viết phương trình mặt phẳng trung trực chi tiết để thấy cách phương trình mặt phẳng 3 điểm được dùng trong bài toán tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Các Trường Hợp Đặc Biệt Cần Lưu Ý

Một số tình huống đặc biệt thường gặp trong đề thi:

• Một điểm là gốc tọa độ O(0;0;0): Phương trình mặt phẳng qua O có dạng Ax+By+Cz=0 (không có hằng số D tự do). Khai triển phương trình qua O sẽ cho D=0.
• Hai điểm trùng nhau hoặc ba điểm thẳng hàng: Không tồn tại mặt phẳng duy nhất. Phát hiện khi [AB,AC] = (0;0;0).
• Ba điểm trên ba trục tọa độ (đoạn chắn): Dùng x/a+y/b+z/c=1 thay vì tích có hướng— nhanh hơn 3 lần.
• Một điểm trùng gốc O và hai điểm trên hai trục: Phương trình mặt phẳng qua O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;b;0) — vectơ AB=(−a;b;0), OA=(a;0;0), OB=(0;b;0). Pháp tuyến n=[OA,OB]=(0;0;ab). Phương trình: z=0 — chính là mặt phẳng (Oxy).

Câu Hỏi Thường Gặp

Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm gồm mấy bước?

Bốn bước: (1) tính vectơ AB và AC; (2) tính vectơ pháp tuyến n = [AB, AC] bằng tích có hướng; (3) viết phương trình mặt phẳng qua A nhận n làm pháp tuyến: A(x−x₁)+B(y−y₁)+C(z−z₁)=0; (4) kiểm tra bằng cách thay B và C vào phương trình.

Công thức tính tích có hướng [AB, AC] là gì?

Với AB=(b₁;b₂;b₃) và AC=(c₁;c₂;c₃): n_x = b₂c₃−b₃c₂; n_y = −(b₁c₃−b₃c₁) = b₃c₁−b₁c₃; n_z = b₁c₂−b₂c₁. Lưu ý: thành phần y có dấu âm phía trước khi khai triển theo hàng đầu của định thức.

Khi nào 3 điểm thẳng hàng và không thể viết mặt phẳng?

Ba điểm thẳng hàng khi [AB, AC] = vectơ 0, tức là n = (0;0;0). Điều này xảy ra khi AB và AC cùng phương (AB = k×AC với k là số thực). Khi ba điểm thẳng hàng, không tồn tại mặt phẳng duy nhất đi qua chúng.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là gì?

Khi mặt phẳng cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c ≠ 0, phương trình là x/a+y/b+z/c=1. Đây là dạng rút gọn đặc biệt dùng khi ba điểm có dạng chuẩn trên ba trục — nhanh hơn nhiều so với tính tích có hướng.

Có thể dùng vectơ BA, CA thay vì AB, AC không?

Có. [BA, CA] cho kết quả tương đương [AB, AC] — cùng phương nhau. Quan trọng là hai vectơ phải nằm trong mặt phẳng và không cùng phương. Có thể dùng bất kỳ cặp vectơ nào: [AB, AC], [BA, BC], [CA, CB]…tất cả đều cho pháp tuyến cùng phương, dẫn đến cùng phương trình mặt phẳng.

Lỗi phổ biến nhất khi viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm là gì?

Lỗi phổ biến nhất: tính sai thành phần y của tích có hướng — không lấy dấu âm phía trước. Lỗi thứ hai: thay điểm B hoặc C vào phương trình mặt phẳng thay vì dùng điểm A (điểm dùng để viết phương trình). Lỗi thứ ba: tính vectơ AB = A−B thay vì B−A.

Kết Luận

Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm trong Oxyz có quy trình cố định và rõ ràng: tích có hướng [AB,AC] cho pháp tuyến, phương trình mặt phẳng qua A nhận pháp tuyến đó. Hai điểm cốt lõi cần ghi nhớ: thành phần y của tích có hướng có dấu âm, và luôn kiểm tra bằng cách thay B và C vào phương trình. Phương trình theo đoạn chắn là "phím tắt" hữu ích khi ba điểm nằm trên ba trục tọa độ — tiết kiệm đáng kể thời gian trong đề thi trắc nghiệm.

Bạn muốn xem thêm bài tập viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm khi một trong ba điểm là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, hoặc cần hướng dẫn viết phương trình mặt phẳng qua 2 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước? Để lại câu hỏi bên dưới — mình sẽ giải đáp sớm nhất nhé!