Cát tuyến là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Đây là khái niệm quan trọng trong hình học đường tròn, thường xuất hiện cùng tiếp tuyến, dây cung, góc nội tiếp và các bài toán tính đoạn thẳng.
Điểm chính
- Cát tuyến của đường tròn là đường thẳng có hai điểm chung với đường tròn.
- Hai điểm cắt tạo thành một dây cung của đường tròn.
- Cát tuyến khác tiếp tuyến vì tiếp tuyến chỉ tiếp xúc tại một điểm.
- Cát tuyến được dùng nhiều trong bài toán đường tròn lớp 9.
Cát tuyến là gì?
Cát tuyến là đường thẳng cắt một đường tròn tại hai điểm phân biệt. Hai điểm này đều nằm trên đường tròn.
Ví dụ, đường thẳng d cắt đường tròn tâm O tại hai điểm A và B. Khi đó, d là cát tuyến của đường tròn.
Đoạn thẳng AB nằm trong đường tròn được gọi là dây cung. Như vậy, cát tuyến chứa một dây cung của đường tròn.
Cát tuyến của đường tròn
Trong hình học lớp 9, khi nói đến cát tuyến, người ta thường hiểu là cát tuyến của đường tròn.
Một đường thẳng là cát tuyến của đường tròn nếu nó có đúng hai điểm chung với đường tròn đó.
Nếu đường thẳng không cắt đường tròn, nó không phải cát tuyến. Nếu chỉ có một điểm chung, nó là tiếp tuyến.
| Quan hệ với đường tròn | Số điểm chung | Tên gọi |
|---|---|---|
| Cắt tại hai điểm | Hai điểm | Cát tuyến |
| Tiếp xúc tại một điểm | Một điểm | Tiếp tuyến |
| Không gặp đường tròn | Không có | Đường ngoài |
Trong tiếng Anh, cát tuyến thường được gọi là secant line. Tiếp tuyến được gọi là tangent line.
Cách vẽ cát tuyến của đường tròn
Cách vẽ cát tuyến khá đơn giản. Bạn chỉ cần vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm nằm trên đường tròn.
- Bước 1: Vẽ đường tròn tâm O.
- Bước 2: Chọn hai điểm A và B phân biệt trên đường tròn.
- Bước 3: Dùng thước kẻ đường thẳng đi qua A và B.
- Bước 4: Đường thẳng AB chính là cát tuyến của đường tròn.
Tính chất của cát tuyến
Cát tuyến có nhiều tính chất quan trọng liên quan đến dây cung, góc và đoạn thẳng.
- Cắt đường tròn tại hai điểm: Đây là dấu hiệu cơ bản nhất của cát tuyến.
- Chứa dây cung: Đoạn nối hai giao điểm của cát tuyến với đường tròn là một dây cung.
- Có thể đi qua tâm: Nếu cát tuyến đi qua tâm, dây cung tương ứng là đường kính.
- Tạo góc với đường tròn: Hai cát tuyến có thể tạo các góc liên quan đến cung bị chắn.
Nếu đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm, hãy gọi ngay hai giao điểm để khai thác dây cung và cung tròn.
Phân biệt cát tuyến và tiếp tuyến
Cát tuyến và tiếp tuyến đều là đường thẳng liên quan đến đường tròn. Tuy vậy, chúng khác nhau ở số điểm chung với đường tròn.
Cát tuyến có hai điểm chung với đường tròn. Tiếp tuyến chỉ có một điểm chung với đường tròn.
| Tiêu chí | Cát tuyến | Tiếp tuyến |
|---|---|---|
| Số điểm chung | Hai điểm | Một điểm |
| Vị trí | Cắt qua đường tròn | Chạm đường tròn |
| Đoạn liên quan | Dây cung | Bán kính tại tiếp điểm |
| Tính chất đặc biệt | Có thể chứa đường kính | Vuông góc bán kính tại tiếp điểm |
Đừng gọi một đường chỉ chạm đường tròn tại một điểm là cát tuyến. Đó là tiếp tuyến.
Cát tuyến đi qua tâm đường tròn
Nếu cát tuyến đi qua tâm đường tròn, đoạn nối hai giao điểm của nó với đường tròn là đường kính.
Đây là trường hợp đặc biệt của cát tuyến. Khi đó, dây cung tạo bởi cát tuyến có độ dài lớn nhất.
Ví dụ, đường thẳng d đi qua tâm O và cắt đường tròn tại A, B. Khi đó, AB là đường kính và AB = 2R.
Hệ thức liên quan đến cát tuyến
Khi từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai cát tuyến MAB và MCD, ta có hệ thức:
MA x MB = MC x MD
Trong đó A, B, C, D là các giao điểm với đường tròn theo thứ tự trên từng cát tuyến.
Hệ thức này thường dùng để tính độ dài đoạn thẳng trong các bài toán đường tròn.
| Dạng bài | Hệ thức thường dùng | Ứng dụng |
|---|---|---|
| Hai cát tuyến từ một điểm ngoài | MA x MB = MC x MD | Tính đoạn thẳng |
| Một tiếp tuyến và một cát tuyến | MT2 = MA x MB | Tính tiếp tuyến |
| Cát tuyến qua tâm | AB = 2R | Tính đường kính |
Góc tạo bởi hai cát tuyến
Khi hai cát tuyến cắt nhau, chúng có thể tạo ra các góc liên quan đến cung tròn.
Nếu hai cát tuyến cắt nhau ở bên ngoài đường tròn, số đo góc tạo bởi chúng bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
Nếu hai cát tuyến cắt nhau bên trong đường tròn, số đo góc tạo bởi chúng bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Khi bài có hai cát tuyến, hãy xác định giao điểm nằm trong hay ngoài đường tròn trước khi dùng công thức góc.
Ứng dụng của cát tuyến trong hình học
Cát tuyến được dùng nhiều trong các bài toán đường tròn. Nó giúp liên hệ giữa đoạn thẳng, dây cung, cung tròn và góc.
- Tính độ dài đoạn thẳng: Dùng hệ thức giữa hai cát tuyến.
- Chứng minh quan hệ góc: Dùng góc tạo bởi cát tuyến và cung bị chắn.
- Xác định dây cung: Cát tuyến chứa dây cung nối hai giao điểm.
- Giải bài tiếp tuyến: Kết hợp hệ thức tiếp tuyến và cát tuyến.
- Nhận biết đường kính: Cát tuyến đi qua tâm tạo thành đường kính.
Ví dụ về cát tuyến có lời giải
Ví dụ 1: Đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Hỏi d là gì của đường tròn?
Lời giải: Vì d có hai điểm chung với đường tròn, nên d là cát tuyến của đường tròn.
Ví dụ 2: Cát tuyến AB đi qua tâm O của đường tròn bán kính 5 cm. Tính AB.
Lời giải: Vì cát tuyến đi qua tâm nên AB là đường kính. Do đó, AB = 2R = 10 cm.
Ví dụ 3: Từ điểm M ngoài đường tròn kẻ hai cát tuyến MAB và MCD. Biết MA = 3 cm, MB = 12 cm, MC = 4 cm. Tính MD.
Lời giải: Theo hệ thức hai cát tuyến, MA x MB = MC x MD.
Thay số, 3 x 12 = 4 x MD. Suy ra MD = 9 cm.
Ví dụ 4: Từ điểm M ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Biết MA = 4 cm, MB = 16 cm. Tính MT.
Lời giải: Theo hệ thức tiếp tuyến và cát tuyến, MT2 = MA x MB = 4 x 16 = 64.
Suy ra MT = 8 cm.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Một đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm P và Q. Đường thẳng đó gọi là gì?
Lời giải: Đó là cát tuyến của đường tròn.
Bài 2: Cát tuyến CD đi qua tâm O của đường tròn bán kính 7 cm. Tính CD.
Lời giải: CD là đường kính nên CD = 2 x 7 = 14 cm.
Bài 3: Từ M ngoài đường tròn kẻ hai cát tuyến MAB và MCD. Biết MA = 5 cm, MB = 20 cm, MC = 10 cm. Tính MD.
Lời giải: MA x MB = MC x MD nên 5 x 20 = 10 x MD. Suy ra MD = 10 cm.
Bài 4: Từ M ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Biết MA = 6 cm, MB = 24 cm. Tính MT.
Lời giải: MT2 = MA x MB = 6 x 24 = 144. Suy ra MT = 12 cm.
Lỗi sai thường gặp khi học cát tuyến
Lỗi đầu tiên là nhầm cát tuyến với tiếp tuyến. Cát tuyến cắt đường tròn tại hai điểm, còn tiếp tuyến chỉ chạm tại một điểm.
Lỗi thứ hai là nhầm dây cung với cát tuyến. Dây cung là đoạn thẳng, còn cát tuyến là đường thẳng chứa dây cung.
Lỗi khác là áp dụng sai hệ thức cát tuyến. Cần lấy đúng đoạn từ điểm ngoài đến giao điểm gần và giao điểm xa.
Câu hỏi thường gặp
Cát tuyến là gì?
Cát tuyến là đường thẳng cắt một đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Cát tuyến khác tiếp tuyến thế nào?
Cát tuyến có hai điểm chung với đường tròn, còn tiếp tuyến chỉ có một điểm chung.
Cát tuyến có liên quan đến dây cung không?
Có. Đoạn nối hai giao điểm của cát tuyến với đường tròn là một dây cung.
Cát tuyến đi qua tâm tạo thành gì?
Nếu cát tuyến đi qua tâm đường tròn, dây cung tương ứng là đường kính.
Hệ thức hai cát tuyến từ một điểm ngoài là gì?
Nếu từ M kẻ hai cát tuyến MAB và MCD, ta có MA x MB = MC x MD.
Kết luận
Cát tuyến là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Đây là khái niệm nền tảng trong phần đường tròn của hình học phẳng.
Cần phân biệt cát tuyến với tiếp tuyến và dây cung. Cát tuyến là đường thẳng, dây cung là đoạn thẳng, còn tiếp tuyến chỉ có một điểm chung với đường tròn.
Khi giải bài tập, hãy xác định rõ giao điểm của cát tuyến với đường tròn. Sau đó, dùng các hệ thức đoạn thẳng hoặc tính chất góc phù hợp.
