Điểm đối xứng là điểm tương ứng với một điểm ban đầu qua phép đối xứng. Trong hình học phẳng, học sinh thường gặp hai dạng chính là đối xứng qua một điểm và đối xứng qua một đường thẳng.
Điểm chính
- Điểm đối xứng là điểm tương ứng qua phép đối xứng.
- Đối xứng qua điểm gọi là đối xứng tâm.
- Đối xứng qua đường thẳng gọi là đối xứng trục.
- Cần xác định đúng tâm hoặc trục trước khi dựng điểm đối xứng.
Điểm đối xứng là gì?
Điểm đối xứng là điểm nhận được khi biến đổi một điểm qua tâm đối xứng hoặc trục đối xứng.
Nếu điểm A biến thành điểm A' qua phép đối xứng, ta nói A' là điểm đối xứng của A.
Trong hình học phẳng, điểm đối xứng giúp nhận biết hình đối xứng, dựng hình và giải các bài toán tọa độ.
Điểm đối xứng qua một điểm
Hai điểm A và A' đối xứng nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn AA'.
Khi đó, ta gọi O là tâm đối xứng. Phép đối xứng này còn gọi là đối xứng tâm.
Nói cách khác, A, O, A' thẳng hàng và OA = OA'.
| Điều kiện | Ý nghĩa |
|---|---|
| A, O, A' thẳng hàng | Ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng |
| OA = OA' | O cách đều A và A' |
| O là trung điểm AA' | A và A' đối xứng qua O |
Điểm đối xứng qua một đường thẳng
Hai điểm A và A' đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn AA'.
Khi đó, đường thẳng d gọi là trục đối xứng. Phép đối xứng này gọi là đối xứng trục.
Nghĩa là d vuông góc với AA' tại trung điểm của đoạn AA'.
Cách xác định điểm đối xứng qua tâm
Để xác định điểm A' đối xứng với A qua O, ta cần dựng sao cho O là trung điểm của AA'.
- Bước 1: Nối A với O.
- Bước 2: Kéo dài đường thẳng AO về phía O.
- Bước 3: Lấy điểm A' sao cho OA' = OA.
- Bước 4: Kết luận A' là điểm đối xứng của A qua O.
Cách xác định điểm đối xứng qua trục
Để xác định điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng d, hãy dựng đường vuông góc từ A đến d.
- Bước 1: Từ A kẻ AH vuông góc với d tại H.
- Bước 2: Kéo dài AH qua H.
- Bước 3: Lấy điểm A' sao cho HA' = HA.
- Bước 4: Khi đó, A' là điểm đối xứng của A qua d.
Đối xứng qua tâm thì tâm là trung điểm. Đối xứng qua trục thì trục là đường trung trực.
Công thức tọa độ điểm đối xứng
Trong mặt phẳng tọa độ, công thức giúp xác định điểm đối xứng nhanh hơn.
Nếu A(x; y) đối xứng qua gốc tọa độ O, điểm đối xứng là A'(-x; -y).
Nếu A(x; y) đối xứng qua trục Ox, điểm đối xứng là A'(x; -y).
Nếu A(x; y) đối xứng qua trục Oy, điểm đối xứng là A'(-x; y).
| Phép đối xứng | Điểm ban đầu | Điểm đối xứng |
|---|---|---|
| Qua gốc O | A(x; y) | A'(-x; -y) |
| Qua trục Ox | A(x; y) | A'(x; -y) |
| Qua trục Oy | A(x; y) | A'(-x; y) |
| Qua tâm I(a; b) | A(x; y) | A'(2a - x; 2b - y) |
Ví dụ về điểm đối xứng có lời giải
Ví dụ 1: Cho A(3; 4). Tìm điểm đối xứng của A qua gốc tọa độ O.
Lời giải: Điểm đối xứng là A'(-3; -4).
Ví dụ 2: Cho B(5; -2). Tìm điểm đối xứng của B qua trục Ox.
Lời giải: Đối xứng qua trục Ox giữ nguyên hoành độ và đổi dấu tung độ. Vậy B'(5; 2).
Ví dụ 3: Cho C(-4; 7). Tìm điểm đối xứng của C qua trục Oy.
Lời giải: Đối xứng qua trục Oy đổi dấu hoành độ và giữ nguyên tung độ. Vậy C'(4; 7).
Ví dụ 4: Cho A(2; 3) và tâm I(5; 7). Tìm A' đối xứng với A qua I.
Lời giải: A'(2 x 5 - 2; 2 x 7 - 3) = A'(8; 11).
Ứng dụng của điểm đối xứng trong hình học
Điểm đối xứng được dùng nhiều trong dựng hình, chứng minh hình học và bài toán tọa độ.
- Dựng hình: Xác định điểm tương ứng qua tâm hoặc trục.
- Chứng minh trung điểm: Nếu hai điểm đối xứng qua O, thì O là trung điểm.
- Chứng minh trung trực: Nếu hai điểm đối xứng qua d, thì d là trung trực của đoạn nối hai điểm.
- Giải tọa độ: Dùng công thức đối xứng để tìm điểm mới.
Phân biệt đối xứng tâm và đối xứng trục
| Tiêu chí | Đối xứng tâm | Đối xứng trục |
|---|---|---|
| Yếu tố cố định | Một điểm | Một đường thẳng |
| Điều kiện | Tâm là trung điểm | Trục là trung trực |
| Ví dụ tọa độ | Qua O: A(x; y) thành A'(-x; -y) | Qua Ox: A(x; y) thành A'(x; -y) |
| Hình dung | Quay nửa vòng quanh tâm | Lật qua một đường thẳng |
Đừng nhầm đối xứng qua tâm với đối xứng qua trục. Một bên dùng trung điểm, một bên dùng đường trung trực.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho A(6; -3). Tìm điểm đối xứng của A qua gốc tọa độ.
Lời giải: A'(-6; 3).
Bài 2: Cho B(-2; 5). Tìm điểm đối xứng của B qua trục Ox.
Lời giải: B'(-2; -5).
Bài 3: Cho C(4; -7). Tìm điểm đối xứng của C qua trục Oy.
Lời giải: C'(-4; -7).
Bài 4: Cho A(1; 2), I(3; 5). Tìm A' đối xứng với A qua I.
Lời giải: A'(2 x 3 - 1; 2 x 5 - 2) = A'(5; 8).
Lỗi sai thường gặp
Lỗi đầu tiên là đổi sai dấu tọa độ. Qua Ox chỉ đổi dấu tung độ, còn qua Oy chỉ đổi dấu hoành độ.
Lỗi thứ hai là nhầm tâm đối xứng với trục đối xứng. Tâm là một điểm, trục là một đường thẳng.
Lỗi khác là quên điều kiện trung điểm khi xét đối xứng qua tâm.
Trước khi làm bài, hãy xác định phép đối xứng là qua điểm hay qua đường thẳng. Sau đó mới chọn cách dựng hoặc công thức.
Câu hỏi thường gặp
Điểm đối xứng là gì?
Điểm đối xứng là điểm tương ứng với một điểm ban đầu qua phép đối xứng tâm hoặc đối xứng trục.
Hai điểm đối xứng qua một điểm khi nào?
Hai điểm đối xứng qua O khi O là trung điểm của đoạn nối hai điểm đó.
Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng khi nào?
Hai điểm đối xứng qua đường thẳng d khi d là đường trung trực của đoạn nối hai điểm đó.
Điểm đối xứng của A(x; y) qua trục Ox là gì?
Điểm đối xứng qua trục Ox là A'(x; -y).
Điểm đối xứng của A(x; y) qua trục Oy là gì?
Điểm đối xứng qua trục Oy là A'(-x; y).
Kết luận
Điểm đối xứng là kiến thức quan trọng trong hình học phẳng. Có hai dạng cơ bản là đối xứng qua tâm và đối xứng qua trục.
Với đối xứng tâm, tâm là trung điểm của đoạn nối hai điểm. Với đối xứng trục, trục là đường trung trực của đoạn nối hai điểm.
Khi làm bài tọa độ, hãy ghi nhớ quy tắc đổi dấu qua Ox, Oy và gốc tọa độ để tính nhanh và chính xác.
