Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là khoảng cách từ tâm ngoại tiếp đến mỗi đỉnh của tam giác. Đây là kiến thức quan trọng trong hình học, thường dùng để tính độ dài, diện tích và giải các bài toán liên quan đến đường tròn.
Điểm chính
- Đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua cả ba đỉnh của tam giác.
- Tâm ngoại tiếp là giao điểm ba đường trung trực.
- Bán kính ngoại tiếp ký hiệu là R.
- Công thức thường dùng là R = abc/(4S).
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.
Với tam giác ABC, nếu một đường tròn đi qua A, B và C, ta gọi đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp thường ký hiệu là O. Bán kính ngoại tiếp thường ký hiệu là R.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.
Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác. Vì vậy, ta có OA = OB = OC = R.
| Yếu tố | Ký hiệu | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Tâm ngoại tiếp | O | Giao điểm ba đường trung trực |
| Bán kính ngoại tiếp | R | Khoảng cách từ O đến mỗi đỉnh |
| Ba cạnh tam giác | a, b, c | Độ dài các cạnh của tam giác |
| Diện tích tam giác | S | Diện tích phần trong tam giác |
Công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tổng quát
Công thức quan trọng nhất là R = abc/(4S).
Trong đó, a, b, c là ba cạnh của tam giác và S là diện tích tam giác.
Công thức này dùng được cho mọi tam giác nếu biết đủ ba cạnh và diện tích.
Công thức theo định lý sin
Bán kính đường tròn ngoại tiếp cũng liên hệ với định lý sin trong tam giác.
Ta có a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
Vì vậy, nếu biết một cạnh và góc đối diện, ta có thể tính R = a/(2sin A).
| Dữ kiện đã biết | Công thức | Cách dùng |
|---|---|---|
| Biết cạnh a và góc A | R = a/(2sin A) | A là góc đối diện cạnh a |
| Biết cạnh b và góc B | R = b/(2sin B) | B là góc đối diện cạnh b |
| Biết cạnh c và góc C | R = c/(2sin C) | C là góc đối diện cạnh c |
Nếu đề cho cạnh và góc đối diện, dùng định lý sin. Nếu đề cho ba cạnh và diện tích, dùng R = abc/(4S).
Bán kính ngoại tiếp tam giác vuông
Với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền.
Do đó, bán kính ngoại tiếp bằng một nửa cạnh huyền.
Nếu cạnh huyền là c, thì R = c/2.
Bán kính ngoại tiếp tam giác đều
Với tam giác đều cạnh a, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R = a√3/3.
Trong tam giác đều, tâm ngoại tiếp trùng với trọng tâm, trực tâm và tâm nội tiếp.
Đây là công thức nhanh rất hay dùng trong bài toán tam giác đều.
Bán kính ngoại tiếp tam giác cân
Với tam giác cân, có thể dùng công thức tổng quát R = abc/(4S).
Nếu biết cạnh đáy và chiều cao, hãy tính diện tích trước. Sau đó thay ba cạnh vào công thức.
Ngoài ra, nếu đề cho góc ở đỉnh hoặc góc ở đáy, có thể dùng công thức R = a/(2sin A).
Đừng nhầm bán kính ngoại tiếp R với bán kính nội tiếp r. Ngoại tiếp đi qua ba đỉnh, còn nội tiếp tiếp xúc ba cạnh.
Ví dụ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Ví dụ 1: Tam giác ABC có ba cạnh 3 cm, 4 cm, 5 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Lời giải: Đây là tam giác vuông có cạnh huyền 5 cm. Vậy R = 5/2 = 2,5 cm.
Ví dụ 2: Tam giác đều có cạnh 6 cm. Tính bán kính ngoại tiếp.
Lời giải: R = a√3/3 = 6√3/3 = 2√3 cm.
Ví dụ 3: Tam giác có ba cạnh a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm và diện tích S = 6√6 cm2. Tính R.
Lời giải: R = abc/(4S) = 5 x 6 x 7/(4 x 6√6) = 210/(24√6) = 35√6/24 cm.
Ví dụ 4: Tam giác ABC có cạnh a = 10 cm và góc A = 30 độ. Tính R.
Lời giải: R = a/(2sin A) = 10/(2 x sin30 độ) = 10/(2 x 1/2) = 10 cm.
Ứng dụng của bán kính đường tròn ngoại tiếp
Bán kính đường tròn ngoại tiếp được dùng nhiều trong bài toán tam giác, đường tròn và lượng giác.
- Tính độ dài cạnh: Dùng hệ thức a = 2Rsin A.
- Tính diện tích: Biến đổi từ công thức S = abc/(4R).
- Giải tam giác vuông: Bán kính ngoại tiếp bằng nửa cạnh huyền.
- Chứng minh hình học: Dùng tính chất tâm ngoại tiếp cách đều ba đỉnh.
Phân biệt đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác
| Tiêu chí | Đường tròn ngoại tiếp | Đường tròn nội tiếp |
|---|---|---|
| Vị trí | Đi qua ba đỉnh tam giác | Tiếp xúc ba cạnh tam giác |
| Tâm | Giao điểm ba đường trung trực | Giao điểm ba đường phân giác |
| Bán kính | Khoảng cách từ tâm đến đỉnh | Khoảng cách từ tâm đến cạnh |
| Ký hiệu | R | r |
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tam giác vuông có cạnh huyền 12 cm. Tính bán kính ngoại tiếp.
Lời giải: R = 12/2 = 6 cm.
Bài 2: Tam giác đều cạnh 9 cm. Tính bán kính ngoại tiếp.
Lời giải: R = 9√3/3 = 3√3 cm.
Bài 3: Tam giác có a = 8 cm, b = 9 cm, c = 10 cm và S = 12√15 cm2. Tính R.
Lời giải: R = abc/(4S) = 8 x 9 x 10/(4 x 12√15) = 720/(48√15) = 15/√15 = √15 cm.
Bài 4: Tam giác ABC có cạnh a = 14 cm và góc A = 45 độ. Tính R.
Lời giải: R = a/(2sin A) = 14/(2 x √2/2) = 14/√2 = 7√2 cm.
Lỗi sai thường gặp
Lỗi đầu tiên là nhầm tâm ngoại tiếp với tâm nội tiếp. Tâm ngoại tiếp là giao điểm trung trực, còn tâm nội tiếp là giao điểm phân giác.
Lỗi thứ hai là dùng nhầm công thức r = S/p. Đây là công thức bán kính nội tiếp, không phải ngoại tiếp.
Lỗi khác là quên rằng trong tam giác vuông, bán kính ngoại tiếp bằng một nửa cạnh huyền.
Khi bài hỏi bán kính ngoại tiếp, hãy kiểm tra trước tam giác có vuông hoặc đều không. Nếu có, dùng công thức nhanh.
Câu hỏi thường gặp
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
Đó là khoảng cách từ tâm ngoại tiếp đến mỗi đỉnh của tam giác.
Công thức tổng quát tính bán kính ngoại tiếp là gì?
Công thức tổng quát là R = abc/(4S), với a, b, c là ba cạnh và S là diện tích tam giác.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm ở đâu?
Tâm ngoại tiếp là giao điểm ba đường trung trực của tam giác.
Tam giác vuông có bán kính ngoại tiếp bằng bao nhiêu?
Trong tam giác vuông, bán kính ngoại tiếp bằng một nửa cạnh huyền.
Tam giác đều cạnh a có bán kính ngoại tiếp là gì?
Với tam giác đều cạnh a, bán kính ngoại tiếp là R = a√3/3.
Kết luận
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác thường được ký hiệu là R. Công thức tổng quát cần nhớ là R = abc/(4S).
Với tam giác vuông, R bằng một nửa cạnh huyền. Với tam giác đều cạnh a, R = a√3/3.
Khi làm bài, hãy nhận diện dạng tam giác trước. Sau đó chọn công thức phù hợp để tính nhanh và tránh nhầm với bán kính nội tiếp.
