Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn nằm bên trong tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh. Đây là kiến thức quan trọng trong hình học, thường dùng để tính bán kính, diện tích và giải bài toán liên quan đến phân giác.
Điểm chính
- Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.
- Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm ba đường phân giác trong.
- Bán kính nội tiếp là khoảng cách từ tâm đến mỗi cạnh.
- Công thức thường dùng là r = S/p.
Đường tròn nội tiếp tam giác là gì?
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn nằm bên trong tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó.
Nếu đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC, ta nói đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Tâm của đường tròn nội tiếp thường ký hiệu là I. Bán kính của đường tròn nội tiếp thường ký hiệu là r.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác. Vì vậy, từ tâm I kẻ vuông góc đến mỗi cạnh, ta được các đoạn bằng nhau.
Các đoạn vuông góc đó chính là bán kính của đường tròn nội tiếp.
| Yếu tố | Ký hiệu | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Tâm nội tiếp | I | Giao điểm ba đường phân giác |
| Bán kính nội tiếp | r | Khoảng cách từ I đến mỗi cạnh |
| Diện tích tam giác | S | Diện tích phần trong tam giác |
| Nửa chu vi | p | p = (a + b + c)/2 |
Tính chất đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp tam giác có nhiều tính chất quan trọng. Các tính chất này giúp nhận diện và giải bài tập nhanh hơn.
- Tiếp xúc ba cạnh: Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.
- Tâm nằm trên phân giác: Tâm I là giao điểm ba đường phân giác trong.
- Cách đều ba cạnh: Khoảng cách từ I đến ba cạnh bằng nhau.
- Bán kính vuông góc: Bán kính tại tiếp điểm vuông góc với cạnh tam giác.
Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp
Công thức quan trọng nhất để tính bán kính đường tròn nội tiếp là r = S/p.
Trong đó, S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi tam giác.
Nếu tam giác có ba cạnh a, b, c thì nửa chu vi là p = (a + b + c)/2.
| Dữ kiện | Công thức | Cách dùng |
|---|---|---|
| Biết diện tích và nửa chu vi | r = S/p | Tính bán kính nội tiếp |
| Biết ba cạnh | p = (a + b + c)/2 | Tính nửa chu vi trước |
| Biết r và p | S = r x p | Tính diện tích tam giác |
Nếu đề cho ba cạnh tam giác, hãy tính nửa chu vi trước. Sau đó dùng công thức Heron để tìm diện tích nếu cần.
Liên hệ công thức Heron và bán kính nội tiếp
Khi biết ba cạnh tam giác, ta có thể tính diện tích bằng công thức Heron.
Công thức là S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)].
Sau khi tính được S, ta dùng r = S/p để tìm bán kính đường tròn nội tiếp.
Ví dụ tính bán kính đường tròn nội tiếp
Ví dụ 1: Tam giác có diện tích 24 cm2 và nửa chu vi 12 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.
Lời giải: r = S/p = 24/12 = 2 cm.
Ví dụ 2: Tam giác có ba cạnh 3 cm, 4 cm, 5 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.
Lời giải: Nửa chu vi p = (3 + 4 + 5)/2 = 6 cm.
Diện tích tam giác vuông là S = 3 x 4 chia 2 = 6 cm2.
Vậy r = S/p = 6/6 = 1 cm.
Ví dụ 3: Tam giác đều cạnh 6 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.
Lời giải: Với tam giác đều cạnh a, bán kính nội tiếp là r = a√3/6.
Thay a = 6, ta được r = √3 cm.
Đường tròn nội tiếp tam giác đều
Trong tam giác đều, tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp.
Nếu tam giác đều có cạnh a, bán kính đường tròn nội tiếp là r = a√3/6.
Đây là công thức nhanh thường dùng trong bài tập tam giác đều.
Phân biệt đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp nằm trong tam giác và tiếp xúc với ba cạnh. Đường tròn ngoại tiếp đi qua ba đỉnh của tam giác.
| Tiêu chí | Đường tròn nội tiếp | Đường tròn ngoại tiếp |
|---|---|---|
| Vị trí | Nằm trong tam giác | Đi qua ba đỉnh |
| Tâm | Giao điểm ba phân giác | Giao điểm ba trung trực |
| Bán kính | Khoảng cách từ tâm đến cạnh | Khoảng cách từ tâm đến đỉnh |
| Ký hiệu thường dùng | r | R |
Đừng nhầm bán kính nội tiếp r với bán kính ngoại tiếp R. Hai đại lượng này khác nhau.
Ứng dụng của đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp được dùng nhiều trong bài toán tính diện tích, tính bán kính, chứng minh phân giác và bài toán tiếp xúc.
- Tính bán kính: Dùng công thức r = S/p.
- Tính diện tích: Nếu biết r và p, dùng S = r x p.
- Chứng minh phân giác: Tâm nội tiếp nằm trên các đường phân giác.
- Bài toán tiếp xúc: Bán kính tại tiếp điểm vuông góc với cạnh tam giác.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tam giác có diện tích 30 cm2 và nửa chu vi 15 cm. Tính bán kính nội tiếp.
Lời giải: r = S/p = 30/15 = 2 cm.
Bài 2: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm, cạnh huyền 10 cm. Tính bán kính nội tiếp.
Lời giải: S = 6 x 8 chia 2 = 24 cm2. Nửa chu vi p = (6 + 8 + 10)/2 = 12 cm.
Vậy r = 24/12 = 2 cm.
Bài 3: Tam giác đều cạnh 12 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.
Lời giải: r = a√3/6 = 12√3/6 = 2√3 cm.
Bài 4: Một tam giác có r = 3 cm và p = 14 cm. Tính diện tích tam giác.
Lời giải: S = r x p = 3 x 14 = 42 cm2.
Lỗi sai thường gặp
Lỗi đầu tiên là nhầm tâm nội tiếp với tâm ngoại tiếp. Tâm nội tiếp là giao điểm phân giác, còn tâm ngoại tiếp là giao điểm trung trực.
Lỗi thứ hai là dùng chu vi thay cho nửa chu vi trong công thức r = S/p. Cần nhớ p là nửa chu vi.
Lỗi khác là ghi sai đơn vị. Bán kính dùng đơn vị độ dài, còn diện tích dùng đơn vị vuông.
Khi bài hỏi đường tròn nội tiếp, hãy nghĩ ngay đến ba đường phân giác và công thức r = S/p.
Câu hỏi thường gặp
Đường tròn nội tiếp tam giác là gì?
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn nằm trong tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm ở đâu?
Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác.
Bán kính đường tròn nội tiếp tính thế nào?
Bán kính nội tiếp được tính bằng r = S/p, trong đó S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi.
Đường tròn nội tiếp tam giác đều có gì đặc biệt?
Trong tam giác đều, tâm nội tiếp trùng với trọng tâm, trực tâm và tâm ngoại tiếp.
Đường tròn nội tiếp khác ngoại tiếp thế nào?
Đường tròn nội tiếp tiếp xúc ba cạnh, còn đường tròn ngoại tiếp đi qua ba đỉnh của tam giác.
Kết luận
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Tâm của nó là giao điểm ba đường phân giác trong.
Công thức quan trọng nhất là r = S/p. Trong đó, S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi.
Khi làm bài, hãy phân biệt rõ nội tiếp và ngoại tiếp. Nếu thấy phân giác, tiếp xúc ba cạnh hoặc bán kính đến cạnh, hãy nghĩ đến đường tròn nội tiếp.
