Vị trí tương đối của hai đường tròn được xác định bằng cách so sánh khoảng cách hai tâm với tổng và hiệu hai bán kính. Đây là phần quan trọng trong hình học lớp 9, đặc biệt khi học tiếp tuyến và giao điểm đường tròn.
Điểm chính
- Vị trí tương đối của hai đường tròn phụ thuộc vào khoảng cách hai tâm và bán kính.
- Hai đường tròn có thể cắt nhau, tiếp xúc nhau, ngoài nhau hoặc đựng nhau.
- Nếu khoảng cách hai tâm bằng tổng bán kính, hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
- Nếu khoảng cách hai tâm bằng hiệu bán kính, hai đường tròn tiếp xúc trong.
Vị trí tương đối của hai đường tròn là gì?
Vị trí tương đối của hai đường tròn cho biết hai đường tròn nằm với nhau như thế nào trên mặt phẳng.
Cụ thể, ta xét số điểm chung giữa hai đường tròn. Đồng thời, ta so sánh khoảng cách hai tâm với bán kính.
Nếu gọi hai đường tròn có tâm O, O' và bán kính R, r, thì khoảng cách hai tâm là OO'.
Khi xét hai đường tròn, hãy luôn ghi rõ R là bán kính lớn và r là bán kính nhỏ nếu cần dùng hiệu bán kính.
Ký hiệu cần nhớ khi xét hai đường tròn
Giả sử có hai đường tròn tâm O và O'. Bán kính lần lượt là R và r.
Thông thường, ta chọn R lớn hơn hoặc bằng r. Khoảng cách giữa hai tâm là d = OO'.
Các điều kiện vị trí sẽ dựa trên ba đại lượng chính: d, R + r và R - r.
| Ký hiệu | Ý nghĩa | Ghi chú |
|---|---|---|
| O, O' | Tâm hai đường tròn | Hai điểm cố định |
| R | Bán kính đường tròn lớn | R lớn hơn hoặc bằng r |
| r | Bán kính đường tròn nhỏ | r nhỏ hơn hoặc bằng R |
| d | Khoảng cách hai tâm | d = OO' |
Hai đường tròn ở ngoài nhau
Hai đường tròn ở ngoài nhau khi chúng không có điểm chung và nằm tách rời nhau.
Điều kiện là d lớn hơn R + r. Khi đó, khoảng cách hai tâm lớn hơn tổng hai bán kính.
Ví dụ, R = 5 cm, r = 3 cm và d = 10 cm. Vì 10 lớn hơn 8, hai đường tròn ở ngoài nhau.
Nếu khoảng cách hai tâm lớn hơn tổng bán kính, hai đường tròn chưa chạm nhau.
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi chúng có đúng một điểm chung ở phía ngoài.
Điều kiện là d = R + r. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm.
Ví dụ, R = 6 cm, r = 4 cm và d = 10 cm. Vì 10 = 6 + 4, hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
Hai đường tròn cắt nhau
Hai đường tròn cắt nhau khi chúng có hai điểm chung. Đây là trường hợp rất hay gặp trong bài toán hình học.
Điều kiện là R - r nhỏ hơn d và d nhỏ hơn R + r. Nói gọn, hiệu bán kính nhỏ hơn khoảng cách tâm, và khoảng cách tâm nhỏ hơn tổng bán kính.
Ví dụ, R = 7 cm, r = 4 cm và d = 8 cm. Vì 3 nhỏ hơn 8 và 8 nhỏ hơn 11, hai đường tròn cắt nhau.
Đừng chỉ so sánh d với R + r. Muốn biết cắt nhau, phải kiểm tra cả hiệu hai bán kính.
Hai đường tròn tiếp xúc trong
Hai đường tròn tiếp xúc trong khi một đường tròn nằm trong đường tròn kia và chúng có đúng một điểm chung.
Điều kiện là d = R - r. Khi đó, hai đường tròn chạm nhau tại một tiếp điểm bên trong.
Ví dụ, R = 9 cm, r = 4 cm và d = 5 cm. Vì 5 = 9 - 4, hai đường tròn tiếp xúc trong.
Hai đường tròn đựng nhau
Hai đường tròn đựng nhau khi một đường tròn nằm hoàn toàn trong đường tròn kia và không có điểm chung.
Điều kiện là d nhỏ hơn R - r. Khi đó, đường tròn nhỏ nằm sâu bên trong đường tròn lớn.
Ví dụ, R = 10 cm, r = 3 cm và d = 4 cm. Vì 4 nhỏ hơn 7, hai đường tròn đựng nhau.
Bảng tổng hợp các trường hợp vị trí tương đối
Bảng sau giúp bạn nhận biết nhanh các vị trí tương đối của hai đường tròn.
| Trường hợp | Điều kiện | Số điểm chung |
|---|---|---|
| Ở ngoài nhau | d lớn hơn R + r | 0 |
| Tiếp xúc ngoài | d = R + r | 1 |
| Cắt nhau | R - r nhỏ hơn d nhỏ hơn R + r | 2 |
| Tiếp xúc trong | d = R - r | 1 |
| Đựng nhau | d nhỏ hơn R - r | 0 |
| Đồng tâm | d = 0 | 0 hoặc vô số |
Trường hợp hai đường tròn đồng tâm
Hai đường tròn đồng tâm khi chúng có cùng tâm. Khi đó, d = 0.
Nếu hai bán kính khác nhau, hai đường tròn không có điểm chung. Một đường tròn nằm bên trong đường còn lại.
Nếu hai bán kính bằng nhau, hai đường tròn trùng nhau. Khi đó, chúng có vô số điểm chung.
Khi gặp d = 0, hãy kiểm tra bán kính. Bán kính bằng nhau thì trùng nhau, khác nhau thì đồng tâm khác bán kính.
Cách xác định vị trí tương đối từng bước
Để xác định đúng vị trí tương đối, hãy làm theo một trình tự cố định. Cách này giúp giảm nhầm lẫn.
- Bước 1: Xác định hai bán kính R và r.
- Bước 2: Tính khoảng cách hai tâm d = OO'.
- Bước 3: Tính tổng R + r và hiệu R - r.
- Bước 4: So sánh d với hai giá trị trên.
- Bước 5: Kết luận số điểm chung và vị trí tương đối.
Theo kinh nghiệm, hãy tính tổng và hiệu ra giấy trước. Sau đó mới so sánh với d.
Ví dụ vị trí tương đối của hai đường tròn có lời giải
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn có R = 5 cm, r = 2 cm và d = 8 cm. Xác định vị trí tương đối.
Lời giải: Ta có R + r = 7 cm. Vì d = 8 cm lớn hơn 7 cm, hai đường tròn ở ngoài nhau.
Ví dụ 2: Cho R = 6 cm, r = 3 cm và d = 9 cm. Xác định vị trí tương đối.
Lời giải: R + r = 9 cm. Vì d = R + r, hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
Ví dụ 3: Cho R = 8 cm, r = 5 cm và d = 6 cm. Xác định vị trí tương đối.
Lời giải: R - r = 3 cm và R + r = 13 cm. Vì 3 nhỏ hơn 6 nhỏ hơn 13, hai đường tròn cắt nhau.
Ví dụ 4: Cho R = 10 cm, r = 4 cm và d = 6 cm. Xác định vị trí tương đối.
Lời giải: R - r = 6 cm. Vì d = R - r, hai đường tròn tiếp xúc trong.
Ứng dụng trong hình học
Vị trí tương đối của hai đường tròn giúp giải nhiều bài toán về tiếp tuyến, dây chung và giao điểm.
- Xác định số giao điểm: Biết ngay hai đường tròn có 0, 1 hay 2 điểm chung.
- Giải bài tiếp tuyến: Trường hợp tiếp xúc giúp xác định tiếp điểm.
- Tìm điều kiện tham số: So sánh d với R + r và R - r.
- Phân tích hình vẽ: Nhận biết nhanh đường tròn nằm ngoài, cắt hay đựng nhau.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Hai đường tròn có R = 7 cm, r = 2 cm và d = 12 cm. Chúng ở vị trí nào?
Lời giải: R + r = 9 cm. Vì 12 lớn hơn 9, hai đường tròn ở ngoài nhau.
Bài 2: Hai đường tròn có R = 4 cm, r = 3 cm và d = 7 cm. Chúng ở vị trí nào?
Lời giải: R + r = 7 cm. Vì d = R + r, hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
Bài 3: Hai đường tròn có R = 9 cm, r = 5 cm và d = 5 cm. Chúng ở vị trí nào?
Lời giải: R - r = 4 cm, R + r = 14 cm. Vì 4 nhỏ hơn 5 nhỏ hơn 14, hai đường tròn cắt nhau.
Bài 4: Hai đường tròn có R = 8 cm, r = 3 cm và d = 5 cm. Chúng ở vị trí nào?
Lời giải: R - r = 5 cm. Vì d = R - r, hai đường tròn tiếp xúc trong.
Lỗi sai thường gặp
Lỗi đầu tiên là quên lấy bán kính lớn trừ bán kính nhỏ. Hiệu bán kính phải không âm.
Lỗi thứ hai là nhầm tiếp xúc trong với tiếp xúc ngoài. Tiếp xúc ngoài dùng tổng, tiếp xúc trong dùng hiệu.
Lỗi khác là chỉ nhìn hình rồi kết luận. Hãy dựa vào d, R + r và R - r để chắc chắn hơn.
Câu hỏi thường gặp
Vị trí tương đối của hai đường tròn gồm mấy trường hợp?
Thường xét năm trường hợp: ngoài nhau, tiếp xúc ngoài, cắt nhau, tiếp xúc trong và đựng nhau.
Hai đường tròn cắt nhau khi nào?
Hai đường tròn cắt nhau khi R - r nhỏ hơn d và d nhỏ hơn R + r.
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi nào?
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính.
Hai đường tròn tiếp xúc trong khi nào?
Hai đường tròn tiếp xúc trong khi khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính.
Hai đường tròn ngoài nhau khi nào?
Hai đường tròn ngoài nhau khi khoảng cách hai tâm lớn hơn tổng hai bán kính.
Kết luận
Vị trí tương đối của hai đường tròn được xác định bằng cách so sánh d với R + r và R - r. Đây là quy tắc cần nhớ nhất.
Nếu d lớn hơn tổng bán kính, hai đường tròn ở ngoài nhau. Nếu d bằng tổng, chúng tiếp xúc ngoài.
Nếu d nằm giữa hiệu và tổng, chúng cắt nhau. Nếu d bằng hiệu, chúng tiếp xúc trong. Nếu d nhỏ hơn hiệu, chúng đựng nhau.
