Tứ giác lồi là tứ giác có bốn góc trong đều nhỏ hơn 180 độ. Đây là dạng tứ giác cơ bản trong hình học phẳng, thường xuất hiện khi học hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông.
Điểm chính
- Tứ giác lồi có bốn góc trong đều nhỏ hơn 180 độ.
- Hai đường chéo của tứ giác lồi nằm trong miền trong của tứ giác.
- Tổng bốn góc trong của tứ giác lồi bằng 360 độ.
- Chu vi bằng tổng bốn cạnh, còn diện tích phụ thuộc vào dữ kiện từng bài.
Tứ giác lồi là gì?
Tứ giác lồi là tứ giác mà mọi góc trong đều nhỏ hơn 180 độ. Nói cách khác, tứ giác không có phần nào lõm vào bên trong.
Nếu lấy hai điểm bất kỳ nằm trong tứ giác lồi, đoạn thẳng nối hai điểm đó cũng nằm trong tứ giác.
Các hình quen thuộc như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành và hình thang thường là tứ giác lồi.
Dấu hiệu nhận biết tứ giác lồi
Để nhận biết tứ giác lồi, học sinh có thể dựa vào góc, đường chéo hoặc hình dạng tổng quát của tứ giác.
| Dấu hiệu | Kết luận |
|---|---|
| Bốn góc trong đều nhỏ hơn 180 độ | Là tứ giác lồi |
| Hai đường chéo nằm bên trong tứ giác | Thường là tứ giác lồi |
| Không có cạnh nào làm hình bị lõm vào trong | Là dạng lồi |
| Một góc trong lớn hơn 180 độ | Không phải tứ giác lồi |
Tứ giác không lồi thường được gọi là tứ giác lõm. Tứ giác lõm có một góc trong lớn hơn 180 độ.
Tính chất của tứ giác lồi
Tứ giác lồi có một số tính chất quan trọng cần nhớ. Những tính chất này thường được dùng trong bài toán tính góc, chứng minh và phân loại hình.
- Tổng góc trong: Bốn góc trong của tứ giác lồi có tổng bằng 360 độ.
- Đường chéo: Hai đường chéo của tứ giác lồi nằm bên trong tứ giác và cắt nhau.
- Không có góc lõm: Mỗi góc trong đều nhỏ hơn 180 độ.
- Có thể chia thành hai tam giác: Một đường chéo chia tứ giác lồi thành hai tam giác.
Tổng các góc trong của tứ giác lồi
Tổng bốn góc trong của mọi tứ giác lồi bằng 360 độ.
Có thể giải thích bằng cách kẻ một đường chéo. Khi đó, tứ giác được chia thành hai tam giác.
Mỗi tam giác có tổng ba góc bằng 180 độ. Vì vậy, tổng góc của tứ giác là 180 độ + 180 độ = 360 độ.
Khi bài cho ba góc của tứ giác lồi, hãy lấy 360 độ trừ tổng ba góc đó để tìm góc còn lại.
Công thức chu vi tứ giác lồi
Chu vi tứ giác lồi bằng tổng độ dài bốn cạnh.
Nếu tứ giác ABCD có bốn cạnh AB, BC, CD và DA, chu vi được tính như sau:
P = AB + BC + CD + DA
| Ký hiệu | Ý nghĩa |
|---|---|
| P | Chu vi tứ giác |
| AB, BC, CD, DA | Bốn cạnh của tứ giác |
Công thức diện tích tứ giác lồi
Không có một công thức diện tích duy nhất đơn giản cho mọi tứ giác lồi nếu chỉ biết bốn cạnh. Cách phổ biến là chia tứ giác thành hai tam giác.
Nếu kẻ đường chéo AC, ta có:
SABCD = SABC + SACD
Nghĩa là diện tích tứ giác bằng tổng diện tích hai tam giác tạo bởi một đường chéo.
| Dạng tứ giác lồi | Công thức diện tích thường dùng |
|---|---|
| Hình chữ nhật | S = dài x rộng |
| Hình vuông | S = cạnh x cạnh |
| Hình bình hành | S = đáy x chiều cao |
| Hình thang | S = tổng hai đáy x chiều cao chia 2 |
| Tứ giác bất kỳ | Chia thành hai tam giác rồi cộng diện tích |
Đừng áp dụng công thức diện tích hình chữ nhật hoặc hình thang cho mọi tứ giác lồi. Cần nhận diện đúng dạng hình trước.
Phân biệt tứ giác lồi và tứ giác lõm
Tứ giác lồi và tứ giác lõm khác nhau chủ yếu ở hình dạng và số đo góc trong.
| Tiêu chí | Tứ giác lồi | Tứ giác lõm |
|---|---|---|
| Góc trong | Mọi góc nhỏ hơn 180 độ | Có một góc lớn hơn 180 độ |
| Hình dạng | Không lõm vào trong | Có phần lõm vào trong |
| Đường chéo | Thường nằm trong tứ giác | Có đường chéo có thể nằm ngoài một phần |
| Ví dụ | Hình chữ nhật, hình thang | Tứ giác dạng mũi tên lõm |
Các tứ giác lồi thường gặp
Trong chương trình phổ thông, nhiều hình quen thuộc đều là tứ giác lồi. Mỗi hình có thêm tính chất riêng.
- Hình thang: Có một cặp cạnh đối song song.
- Hình bình hành: Có hai cặp cạnh đối song song.
- Hình chữ nhật: Có bốn góc vuông.
- Hình thoi: Có bốn cạnh bằng nhau.
- Hình vuông: Có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông.
Ví dụ về tứ giác lồi có lời giải
Ví dụ 1: Một tứ giác lồi có ba góc lần lượt là 80 độ, 95 độ và 110 độ. Tính góc còn lại.
Lời giải: Tổng bốn góc trong của tứ giác lồi bằng 360 độ.
Góc còn lại bằng 360 - 80 - 95 - 110 = 75 độ.
Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có AB = 4 cm, BC = 6 cm, CD = 5 cm, DA = 7 cm. Tính chu vi.
Lời giải: P = AB + BC + CD + DA = 4 + 6 + 5 + 7 = 22 cm.
Ví dụ 3: Tứ giác lồi ABCD được chia bởi đường chéo AC thành hai tam giác có diện tích 12 cm2 và 18 cm2. Tính diện tích tứ giác.
Lời giải: SABCD = SABC + SACD = 12 + 18 = 30 cm2.
Ứng dụng của tứ giác lồi trong hình học
Tứ giác lồi là nền tảng để học các hình đặc biệt và giải bài toán hình học phẳng.
- Tính góc: Dùng tổng bốn góc bằng 360 độ.
- Tính chu vi: Cộng độ dài bốn cạnh.
- Tính diện tích: Chia thành hai tam giác hoặc nhận diện hình đặc biệt.
- Chứng minh hình học: Dùng đường chéo, góc, cạnh và quan hệ song song.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tứ giác lồi có ba góc là 70 độ, 85 độ và 120 độ. Tính góc còn lại.
Lời giải: Góc còn lại = 360 - 70 - 85 - 120 = 85 độ.
Bài 2: Tứ giác có bốn cạnh 5 cm, 8 cm, 6 cm và 9 cm. Tính chu vi.
Lời giải: P = 5 + 8 + 6 + 9 = 28 cm.
Bài 3: Một tứ giác lồi được chia thành hai tam giác có diện tích 20 cm2 và 25 cm2. Tính diện tích tứ giác.
Lời giải: S = 20 + 25 = 45 cm2.
Bài 4: Một tứ giác có một góc trong bằng 210 độ. Tứ giác đó có phải tứ giác lồi không?
Lời giải: Không. Vì tứ giác lồi có mọi góc trong nhỏ hơn 180 độ.
Lỗi sai thường gặp
Lỗi đầu tiên là nhầm tứ giác lồi với mọi tứ giác bất kỳ. Tứ giác lõm không phải tứ giác lồi.
Lỗi thứ hai là dùng sai công thức diện tích. Tứ giác lồi bất kỳ không có công thức diện tích đơn giản chỉ dựa vào bốn cạnh.
Lỗi khác là quên tổng bốn góc trong bằng 360 độ. Đây là tính chất cơ bản nhất cần nhớ.
Khi gặp tứ giác lồi, hãy thử kẻ một đường chéo để đưa bài toán về hai tam giác quen thuộc.
Câu hỏi thường gặp
Tứ giác lồi là gì?
Tứ giác lồi là tứ giác có tất cả góc trong đều nhỏ hơn 180 độ và không có phần lõm vào trong.
Tổng các góc trong của tứ giác lồi bằng bao nhiêu?
Tổng bốn góc trong của tứ giác lồi bằng 360 độ.
Tứ giác lồi khác tứ giác lõm thế nào?
Tứ giác lồi không có góc lớn hơn 180 độ, còn tứ giác lõm có một góc trong lớn hơn 180 độ.
Chu vi tứ giác lồi tính thế nào?
Chu vi tứ giác lồi bằng tổng độ dài bốn cạnh.
Diện tích tứ giác lồi tính thế nào?
Có thể kẻ một đường chéo để chia tứ giác thành hai tam giác, rồi cộng diện tích hai tam giác đó.
Kết luận
Tứ giác lồi là tứ giác có bốn góc trong đều nhỏ hơn 180 độ. Đây là dạng tứ giác cơ bản và quan trọng trong hình học phẳng.
Tính chất cần nhớ nhất là tổng bốn góc trong bằng 360 độ. Chu vi bằng tổng bốn cạnh.
Khi cần tính diện tích tứ giác lồi bất kỳ, hãy kẻ đường chéo để chia hình thành hai tam giác. Cách này đơn giản và dễ áp dụng trong nhiều bài toán.
