Phương trình tổng quát của đường tròn là dạng phương trình thường dùng trong hình học tọa độ. Từ phương trình này, học sinh có thể xác định tâm, bán kính và viết phương trình đường tròn theo các dữ kiện cho trước.
Điểm chính
- Phương trình tổng quát có dạng x2 + y2 + ax + by + c = 0.
- Tâm đường tròn là I(-a/2; -b/2).
- Bán kính là R = √[(a2 + b2 - 4c)/4].
- Muốn là đường tròn thật, cần có a2 + b2 - 4c lớn hơn 0.
Phương trình tổng quát của đường tròn là gì?
Phương trình tổng quát của đường tròn là phương trình có dạng x2 + y2 + ax + by + c = 0.
Trong đó, a, b, c là các số thực. Hai biến x và y là tọa độ của điểm nằm trên đường tròn.
Dạng này thường được dùng khi bài toán cho phương trình khai triển hoặc yêu cầu tìm tâm, bán kính từ phương trình.
Dạng chuẩn và dạng tổng quát của đường tròn
Đường tròn tâm I(m; n), bán kính R có phương trình dạng chuẩn là:
(x - m)2 + (y - n)2 = R2
Khi khai triển dạng chuẩn, ta thu được dạng tổng quát:
x2 + y2 + ax + by + c = 0
| Dạng phương trình | Công thức | Khi nên dùng |
|---|---|---|
| Dạng chuẩn | (x - m)2 + (y - n)2 = R2 | Khi biết tâm và bán kính |
| Dạng tổng quát | x2 + y2 + ax + by + c = 0 | Khi cần tìm tâm, bán kính từ phương trình |
Trong phương trình đường tròn dạng tổng quát, hệ số của x2 và y2 phải bằng nhau, đồng thời không có hạng tử xy.
Cách tìm tâm và bán kính từ phương trình tổng quát
Với phương trình x2 + y2 + ax + by + c = 0, ta có thể xác định tâm và bán kính trực tiếp.
Tâm đường tròn là I(-a/2; -b/2).
Bán kính là R = √[(a2 + b2 - 4c)/4].
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Tâm | I(-a/2; -b/2) |
| Bán kính | R = √[(a2 + b2 - 4c)/4] |
| Điều kiện | a2 + b2 - 4c > 0 |
Điều kiện để phương trình là đường tròn
Không phải mọi phương trình dạng x2 + y2 + ax + by + c = 0 đều biểu diễn một đường tròn thật.
Để phương trình biểu diễn một đường tròn có bán kính dương, cần có a2 + b2 - 4c lớn hơn 0.
Nếu a2 + b2 - 4c bằng 0, phương trình chỉ biểu diễn một điểm. Nếu nhỏ hơn 0, phương trình không biểu diễn đường tròn thực.
Đừng quên kiểm tra điều kiện bán kính. Nếu biểu thức dưới căn âm, phương trình không phải đường tròn thực.
Cách đưa phương trình tổng quát về dạng chuẩn
Một cách quan trọng để xử lý phương trình đường tròn là hoàn thành bình phương.
Ta nhóm các hạng tử chứa x và y, sau đó thêm bớt số thích hợp để tạo bình phương.
- Bước 1: Nhóm x2 với ax và y2 với by.
- Bước 2: Hoàn thành bình phương cho từng nhóm.
- Bước 3: Chuyển hằng số sang vế phải.
- Bước 4: Đọc tâm và bán kính từ dạng chuẩn.
Ví dụ: Cho x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0.
Ta có x2 - 4x + y2 + 6y = 12.
Hoàn thành bình phương: (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25.
Vậy tâm là I(2; -3), bán kính R = 5.
Cách viết phương trình tổng quát khi biết tâm và bán kính
Nếu biết tâm I(m; n) và bán kính R, trước hết viết phương trình dạng chuẩn.
Sau đó, khai triển và rút gọn để đưa về dạng tổng quát.
Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường tròn tâm I(1; -2), bán kính 3.
Dạng chuẩn là (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9.
Khai triển: x2 - 2x + 1 + y2 + 4y + 4 = 9.
Suy ra phương trình tổng quát là x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0.
Cách viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm
Nếu đề cho ba điểm không thẳng hàng, ta có thể viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm đó.
Gọi phương trình cần tìm là x2 + y2 + ax + by + c = 0. Sau đó, thay tọa độ ba điểm vào để lập hệ phương trình theo a, b, c.
- Bước 1: Gọi phương trình tổng quát x2 + y2 + ax + by + c = 0.
- Bước 2: Thay tọa độ từng điểm vào phương trình.
- Bước 3: Giải hệ tìm a, b, c.
- Bước 4: Viết phương trình hoàn chỉnh.
Ví dụ: Đường tròn đi qua A(0; 0), B(2; 0), C(0; 4).
Gọi phương trình là x2 + y2 + ax + by + c = 0.
Thay A(0; 0), được c = 0.
Thay B(2; 0), được 4 + 2a = 0, suy ra a = -2.
Thay C(0; 4), được 16 + 4b = 0, suy ra b = -4.
Vậy phương trình là x2 + y2 - 2x - 4y = 0.
Ứng dụng của phương trình tổng quát đường tròn
Phương trình tổng quát của đường tròn được dùng nhiều trong hình học tọa độ và các bài toán liên quan đến khoảng cách.
- Tìm tâm và bán kính: Dùng công thức trực tiếp từ hệ số a, b, c.
- Kiểm tra điểm thuộc đường tròn: Thay tọa độ điểm vào phương trình.
- Viết phương trình đường tròn: Dựa vào tâm, bán kính hoặc ba điểm.
- Xét vị trí tương đối: So sánh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng hoặc điểm.
Ví dụ phương trình tổng quát của đường tròn có lời giải
Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn x2 + y2 - 6x + 8y - 11 = 0.
Lời giải: Ta có a = -6, b = 8, c = -11.
Tâm I(-a/2; -b/2) = I(3; -4).
Bán kính R = √[(a2 + b2 - 4c)/4] = √[(36 + 64 + 44)/4] = √36 = 6.
Ví dụ 2: Kiểm tra phương trình x2 + y2 + 2x - 4y + 10 = 0 có phải đường tròn không.
Lời giải: Ta có a = 2, b = -4, c = 10.
a2 + b2 - 4c = 4 + 16 - 40 = -20.
Vì giá trị này nhỏ hơn 0, phương trình không biểu diễn đường tròn thực.
Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát của đường tròn tâm I(-1; 3), bán kính 4.
Lời giải: Dạng chuẩn là (x + 1)2 + (y - 3)2 = 16.
Khai triển: x2 + 2x + 1 + y2 - 6y + 9 = 16.
Vậy phương trình tổng quát là x2 + y2 + 2x - 6y - 6 = 0.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm tâm và bán kính của x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0.
Lời giải: a = -4, b = -2, c = -20. Tâm I(2; 1). Bán kính R = √[(16 + 4 + 80)/4] = 5.
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường tròn tâm I(2; -1), bán kính 5.
Lời giải: (x - 2)2 + (y + 1)2 = 25. Khai triển được x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0.
Bài 3: Phương trình x2 + y2 + 6x - 8y + 30 = 0 có phải đường tròn không?
Lời giải: a2 + b2 - 4c = 36 + 64 - 120 = -20. Vì nhỏ hơn 0 nên không phải đường tròn thực.
Bài 4: Đường tròn đi qua A(0; 0), B(4; 0), C(0; 2). Viết phương trình tổng quát.
Lời giải: Gọi x2 + y2 + ax + by + c = 0. Thay A được c = 0. Thay B được 16 + 4a = 0 nên a = -4. Thay C được 4 + 2b = 0 nên b = -2. Vậy x2 + y2 - 4x - 2y = 0.
Lỗi sai thường gặp
Lỗi đầu tiên là nhầm dấu khi xác định tâm. Với x2 + y2 + ax + by + c = 0, tâm là I(-a/2; -b/2), không phải I(a/2; b/2).
Lỗi thứ hai là quên kiểm tra điều kiện bán kính. Nếu a2 + b2 - 4c không dương, phương trình không biểu diễn đường tròn thật.
Lỗi khác là hoàn thành bình phương sai, đặc biệt với các hệ số âm.
Khi gặp phương trình đường tròn, hãy xác định a, b, c trước. Sau đó tính tâm, bán kính và kiểm tra điều kiện.
Câu hỏi thường gặp
Phương trình tổng quát của đường tròn là gì?
Phương trình tổng quát của đường tròn là x2 + y2 + ax + by + c = 0.
Tâm đường tròn trong phương trình tổng quát là gì?
Với x2 + y2 + ax + by + c = 0, tâm là I(-a/2; -b/2).
Bán kính đường tròn trong phương trình tổng quát tính thế nào?
Bán kính là R = √[(a2 + b2 - 4c)/4].
Điều kiện để phương trình là đường tròn là gì?
Cần có a2 + b2 - 4c lớn hơn 0 để phương trình biểu diễn một đường tròn thực.
Làm sao viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm?
Gọi phương trình x2 + y2 + ax + by + c = 0, thay tọa độ ba điểm vào rồi giải hệ tìm a, b, c.
Kết luận
Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng x2 + y2 + ax + by + c = 0. Đây là dạng rất quan trọng trong hình học tọa độ.
Từ dạng này, ta xác định được tâm I(-a/2; -b/2) và bán kính R = √[(a2 + b2 - 4c)/4].
Khi làm bài, hãy kiểm tra điều kiện a2 + b2 - 4c lớn hơn 0. Sau đó mới kết luận phương trình biểu diễn một đường tròn thật.
