Đường trung trực là đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn đó. Kiến thức này giúp học sinh chứng minh khoảng cách bằng nhau, dựng hình và xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Điểm chính
- Đường trung trực của đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm.
- Mọi điểm trên đường trung trực cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
- Nếu một điểm cách đều hai đầu mút đoạn thẳng, điểm đó nằm trên đường trung trực.
- Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp.
Đường trung trực là gì?
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm.
Giả sử M là trung điểm của đoạn AB. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc AB thì d là đường trung trực của AB.
Nói dễ hiểu, đường trung trực vừa chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau, vừa tạo góc vuông với đoạn đó.
Trong tiếng Anh, đường trung trực thường được gọi là perpendicular bisector, nghĩa là đường chia đôi vuông góc.
Tính chất đường trung trực
Tính chất quan trọng nhất là mọi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Nếu điểm P nằm trên đường trung trực của AB, ta có PA = PB. Đây là tính chất rất hay dùng trong chứng minh hình học.
Chiều ngược lại cũng đúng. Nếu PA = PB, thì điểm P nằm trên đường trung trực của đoạn AB.
| Điều kiện | Kết luận | Cách dùng |
|---|---|---|
| P nằm trên trung trực AB | PA = PB | Chứng minh hai đoạn bằng nhau |
| PA = PB | P nằm trên trung trực AB | Chứng minh điểm thuộc đường |
| d vuông góc AB tại trung điểm | d là trung trực AB | Nhận diện đường trung trực |
Cách vẽ đường trung trực bằng thước và compa
Cách vẽ đường trung trực bằng thước và compa thường xuất hiện trong bài dựng hình. Bạn không cần đo trung điểm trực tiếp.
Giả sử cần vẽ đường trung trực của đoạn AB. Hãy dùng cùng một bán kính compa lớn hơn nửa đoạn AB.
- Bước 1: Đặt mũi compa tại A, vẽ hai cung tròn ở hai phía đoạn AB.
- Bước 2: Giữ nguyên bán kính, đặt mũi compa tại B và vẽ hai cung cắt cung trước.
- Bước 3: Gọi hai giao điểm của các cung là P và Q.
- Bước 4: Dùng thước nối P và Q. Đường PQ là trung trực của AB.
Hãy giữ nguyên bán kính compa khi vẽ từ A và B. Nếu đổi bán kính, đường dựng có thể sai.
Cách nhận biết đường trung trực trong bài toán
Muốn nhận biết một đường là trung trực, hãy kiểm tra hai điều kiện. Đường đó phải đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng.
Nhiều bài không cho trực tiếp trung điểm. Khi đó, bạn có thể chứng minh hai đoạn bằng nhau để suy ra trung điểm.
Nếu đề cho một điểm cách đều hai đầu mút, hãy nghĩ đến đường trung trực. Đây là dấu hiệu rất mạnh.
Đừng nhầm đường đi qua trung điểm với đường trung trực. Nó còn phải vuông góc với đoạn thẳng.
Đường trung trực trong tam giác
Trong một tam giác, mỗi cạnh đều có một đường trung trực. Như vậy, một tam giác có ba đường trung trực.
Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Nếu gọi điểm đồng quy là O trong tam giác ABC, ta có OA = OB = OC. Vì vậy, O cách đều ba đỉnh.
| Loại tam giác | Vị trí tâm ngoại tiếp | Ghi nhớ nhanh |
|---|---|---|
| Tam giác nhọn | Nằm trong tam giác | Ba trung trực gặp trong hình |
| Tam giác vuông | Trung điểm cạnh huyền | Rất hay gặp trong bài tập |
| Tam giác tù | Nằm ngoài tam giác | Cần kéo dài trung trực |
Phân biệt đường trung trực và đường trung tuyến
Đường trung trực và đường trung tuyến đều liên quan đến trung điểm. Tuy vậy, chúng không giống nhau.
Đường trung tuyến nối một đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện. Đường trung trực vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm.
| Tiêu chí | Đường trung trực | Đường trung tuyến |
|---|---|---|
| Đối tượng | Một đoạn thẳng | Một tam giác |
| Đi qua trung điểm | Có | Có |
| Bắt buộc vuông góc | Có | Không bắt buộc |
| Tính chất chính | Cách đều hai đầu mút | Đi qua trọng tâm |
Ứng dụng của đường trung trực trong hình học
Đường trung trực được dùng nhiều trong bài toán chứng minh, dựng hình và đường tròn. Thực tế là chỉ cần thấy khoảng cách bằng nhau, bạn nên nghĩ đến trung trực.
- Chứng minh hai đoạn bằng nhau: Nếu một điểm nằm trên trung trực, nó cách đều hai đầu mút.
- Chứng minh điểm thuộc đường: Nếu một điểm cách đều hai đầu mút, nó nằm trên trung trực.
- Dựng trung điểm: Có thể dựng đường trung trực rồi tìm giao điểm với đoạn thẳng.
- Tìm tâm ngoại tiếp: Giao điểm các trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Ví dụ đường trung trực có lời giải
Ví dụ 1: Cho đoạn AB có M là trung điểm. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc AB. Chứng minh d là trung trực của AB.
Lời giải: Vì d đi qua trung điểm M của AB và d vuông góc AB, nên d là đường trung trực của AB.
Ví dụ 2: Điểm P nằm trên đường trung trực của AB. Chứng minh PA = PB.
Lời giải: Theo tính chất đường trung trực, mọi điểm trên trung trực của AB cách đều A và B. Vậy PA = PB.
Ví dụ 3: Cho PA = PB. Chứng minh P nằm trên đường trung trực của AB.
Lời giải: Vì P cách đều hai đầu mút A và B, nên P nằm trên đường trung trực của AB.
Ví dụ 4: Trong tam giác ABC, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Chứng minh O cũng nằm trên trung trực của BC.
Lời giải: Vì O nằm trên trung trực AB nên OA = OB. Vì O nằm trên trung trực AC nên OA = OC.
Suy ra OB = OC. Do đó, O nằm trên đường trung trực của BC.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho M là trung điểm AB và d vuông góc AB tại M. Chứng minh d là trung trực AB.
Gợi ý: Dùng định nghĩa đường trung trực.
Bài 2: Điểm N nằm trên trung trực CD. Biết NC = 7 cm. Tính ND.
Gợi ý: Điểm trên trung trực cách đều hai đầu mút.
Bài 3: Cho PA = PB. Chứng minh P thuộc đường trung trực AB.
Gợi ý: Dùng tính chất đảo của đường trung trực.
Bài 4: Trong tam giác ABC, ba đường trung trực cắt nhau tại O. Chứng minh OA = OB = OC.
Gợi ý: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Lỗi sai thường gặp khi học đường trung trực
Lỗi đầu tiên là chỉ chứng minh đi qua trung điểm rồi kết luận trung trực. Điều này chưa đủ.
Lỗi thứ hai là nhầm trung trực với trung tuyến. Trung tuyến không bắt buộc vuông góc với cạnh.
Lỗi khác là quên dùng tính chất đảo. Nếu một điểm cách đều hai đầu mút, hãy kết luận nó nằm trên trung trực.
Khi gặp trung trực, hãy kiểm tra hai cụm từ khóa: vuông góc và trung điểm. Thiếu một trong hai thì chưa đủ.
Câu hỏi thường gặp
Đường trung trực là gì?
Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
Tính chất đường trung trực là gì?
Mọi điểm trên đường trung trực cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Cách vẽ đường trung trực bằng thước và compa thế nào?
Dùng compa vẽ hai cung tròn cùng bán kính từ hai đầu mút, rồi nối hai giao điểm của cung.
Đường trung trực trong tam giác có gì đặc biệt?
Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Đường trung trực có phải đường trung tuyến không?
Không. Trung trực vuông góc tại trung điểm, còn trung tuyến nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện.
Kết luận
Đường trung trực là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm. Đây là khái niệm nền tảng trong hình học phẳng.
Tính chất quan trọng nhất là các điểm trên trung trực cách đều hai đầu mút. Tính chất đảo cũng dùng rất nhiều.
Khi học tam giác, hãy nhớ ba đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp. Đây là ứng dụng rất quan trọng.
