Đường phân giác ngoài của tam giác là đường chia một góc ngoài thành hai góc bằng nhau. Kiến thức này thường dùng để lập tỉ lệ đoạn thẳng, tính độ dài và giải bài toán hình học nâng cao.
Điểm chính
- Đường phân giác ngoài chia góc ngoài của tam giác thành hai góc bằng nhau.
- Định lý phân giác ngoài tạo tỉ lệ giữa hai cạnh kề và hai đoạn trên cạnh đối diện kéo dài.
- Phân giác ngoài thường dùng để tính độ dài và chứng minh tỉ lệ.
- Cần phân biệt rõ phân giác ngoài với phân giác trong của tam giác.
Đường phân giác ngoài là gì?
Đường phân giác ngoài của tam giác là đường thẳng chia một góc ngoài của tam giác thành hai góc bằng nhau.
Góc ngoài được tạo bởi một cạnh của tam giác và phần kéo dài của cạnh kề nó.
Ví dụ, trong tam giác ABC, nếu AD chia góc ngoài tại A thành hai góc bằng nhau, thì AD là phân giác ngoài tại A.
Mỗi tam giác có ba góc ngoài chính, nên có thể xét ba đường phân giác ngoài tương ứng.
Tính chất đường phân giác ngoài của tam giác
Tính chất quan trọng nhất là đường phân giác ngoài tạo ra tỉ lệ đoạn thẳng trên đường thẳng chứa cạnh đối diện.
Trong tam giác ABC, nếu AD là phân giác ngoài của góc A và D nằm trên đường thẳng BC, thì DB/DC = AB/AC.
Điểm D thường nằm ngoài đoạn BC. Vì vậy, khi vẽ hình, cần kéo dài cạnh BC để xác định đúng vị trí.
| Yếu tố | Ý nghĩa | Cách dùng |
|---|---|---|
| AD | Phân giác ngoài tại A | Chia góc ngoài thành hai góc bằng nhau |
| AB, AC | Hai cạnh kề góc A | Tạo tỉ lệ với DB, DC |
| D | Điểm trên đường thẳng BC | Thường nằm ngoài đoạn BC |
Định lý đường phân giác ngoài
Định lý phân giác ngoài phát biểu rằng phân giác ngoài của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện kéo dài theo tỉ lệ hai cạnh kề.
Cụ thể, với tam giác ABC, AD là phân giác ngoài tại A và D thuộc đường thẳng BC, ta có DB/DC = AB/AC.
Đây là công thức chính cần nhớ khi làm bài tính độ dài hoặc chứng minh tỉ lệ.
Khi thấy phân giác ngoài, hãy nghĩ đến tỉ số hai cạnh kề và hai đoạn trên đường thẳng cạnh đối diện.
Phân biệt phân giác trong và phân giác ngoài
Phân giác trong chia góc trong của tam giác. Phân giác ngoài chia góc ngoài tại một đỉnh.
Cả hai đều liên quan đến tỉ lệ cạnh. Khác là phân giác trong cắt cạnh đối diện trong đoạn, còn phân giác ngoài thường cắt phần kéo dài.
| Tiêu chí | Phân giác trong | Phân giác ngoài |
|---|---|---|
| Góc được chia | Góc trong tam giác | Góc ngoài tam giác |
| Vị trí điểm cắt | Thường nằm trên cạnh đối diện | Thường nằm trên phần kéo dài |
| Tỉ lệ | DB/DC = AB/AC | DB/DC = AB/AC |
| Dạng bài | Tính đoạn trong tam giác | Tính đoạn ngoài hoặc chứng minh tỉ lệ |
Đừng vẽ điểm D vào trong đoạn BC nếu đề nói phân giác ngoài. D thường nằm ngoài cạnh đối diện.
Cách áp dụng đường phân giác ngoài khi giải toán
Trước hết, hãy xác định đỉnh có phân giác ngoài. Sau đó, xác định hai cạnh kề của góc tại đỉnh đó.
Tiếp theo, tìm điểm cắt của phân giác ngoài với đường thẳng chứa cạnh đối diện. Cuối cùng, lập tỉ lệ tương ứng.
- Bước 1: Xác định phân giác ngoài xuất phát từ đỉnh nào.
- Bước 2: Ghi hai cạnh kề của góc tại đỉnh đó.
- Bước 3: Xác định điểm cắt trên đường thẳng chứa cạnh đối diện.
- Bước 4: Lập tỉ lệ theo định lý phân giác ngoài.
- Bước 5: Giải phương trình độ dài hoặc suy ra quan hệ cần chứng minh.
Ví dụ đường phân giác ngoài có lời giải
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm. Phân giác ngoài tại A cắt đường thẳng BC tại D. Biết DB = 4 cm. Tính DC.
Lời giải: Theo định lý phân giác ngoài, DB/DC = AB/AC.
Thay số, 4/DC = 6/9 = 2/3. Suy ra DC = 6 cm.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 10 cm. Phân giác ngoài tại A cắt BC kéo dài tại D. Biết DC = 12 cm. Tính DB.
Lời giải: Ta có DB/DC = AB/AC = 5/10 = 1/2.
Suy ra DB/12 = 1/2, nên DB = 6 cm.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, D thuộc đường thẳng BC. Biết DB/DC = AB/AC. Khi nào AD là phân giác ngoài?
Lời giải: Nếu D nằm ngoài đoạn BC và AD chia góc ngoài tại A thành hai góc bằng nhau, thì AD là phân giác ngoài tại A.
Ứng dụng của đường phân giác ngoài trong hình học
Đường phân giác ngoài thường dùng trong bài toán tỉ lệ đoạn thẳng. Nó cũng xuất hiện trong bài chứng minh và dựng hình.
Thực tế là nhiều bài hình học nâng cao dùng phân giác ngoài để tạo thêm một điểm ngoài tam giác.
- Tính độ dài: Lập tỉ lệ giữa hai cạnh kề và hai đoạn trên cạnh đối diện kéo dài.
- Chứng minh tỉ lệ: Dùng định lý phân giác ngoài để biến đổi đoạn thẳng.
- Chứng minh đồng dạng: Kết hợp với tam giác đồng dạng và định lý Talet.
- Xác định điểm ngoài: Dùng khi bài yêu cầu dựng hoặc tìm vị trí điểm D.
Liên hệ với đường phân giác trong
Phân giác trong và phân giác ngoài tại cùng một đỉnh có mối quan hệ đặc biệt. Chúng vuông góc với nhau.
Lý do là góc trong và góc ngoài kề bù nhau. Hai phân giác của hai góc kề bù tạo thành góc vuông.
Tính chất này thường dùng để chứng minh vuông góc trong các bài toán có phân giác.
Nếu bài có cả phân giác trong và phân giác ngoài tại một đỉnh, hãy nghĩ ngay đến quan hệ vuông góc.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 12 cm. Phân giác ngoài tại A cắt BC kéo dài tại D. Biết DB = 10 cm. Tính DC.
Lời giải: DB/DC = AB/AC = 8/12 = 2/3. Suy ra 10/DC = 2/3, nên DC = 15 cm.
Bài 2: Tam giác ABC có AB = 7 cm, AC = 14 cm. Phân giác ngoài tại A cắt đường thẳng BC tại D. Biết DC = 18 cm. Tính DB.
Lời giải: DB/DC = AB/AC = 7/14 = 1/2. Suy ra DB = 9 cm.
Bài 3: Trong tam giác ABC, phân giác trong và phân giác ngoài tại A cắt nhau tại A. Chứng minh hai đường này vuông góc.
Gợi ý: Dùng tính chất hai góc kề bù và phân giác của chúng.
Bài 4: Cho D nằm ngoài đoạn BC và DB/DC = AB/AC. Hãy nêu điều kiện để AD là phân giác ngoài tại A.
Gợi ý: Cần thêm điều kiện AD chia góc ngoài tại A thành hai góc bằng nhau.
Lỗi sai thường gặp khi học phân giác ngoài
Lỗi đầu tiên là nhầm phân giác ngoài với phân giác trong. Hãy kiểm tra góc được chia là góc trong hay góc ngoài.
Lỗi thứ hai là đặt sai vị trí điểm D. Với phân giác ngoài, D thường nằm ngoài đoạn cạnh đối diện.
Lỗi khác là lập sai tỉ lệ cạnh tương ứng. Hai cạnh kề góc phải đi cùng hai đoạn trên đường thẳng đối diện.
Câu hỏi thường gặp
Đường phân giác ngoài là gì?
Đường phân giác ngoài là đường chia góc ngoài của tam giác thành hai góc bằng nhau.
Tính chất đường phân giác ngoài là gì?
Nó chia cạnh đối diện kéo dài thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của tam giác.
Công thức phân giác ngoài trong tam giác là gì?
Nếu AD là phân giác ngoài tại A, thì DB/DC = AB/AC với D trên đường thẳng BC.
Phân giác ngoài khác phân giác trong thế nào?
Phân giác trong chia góc trong, còn phân giác ngoài chia góc ngoài của tam giác.
Đường phân giác ngoài dùng để làm gì?
Nó thường dùng để tính độ dài, lập tỉ lệ và chứng minh quan hệ hình học.
Kết luận
Đường phân giác ngoài là công cụ quan trọng trong các bài toán tỉ lệ của tam giác. Tính chất chính là chia cạnh đối diện kéo dài theo tỉ lệ hai cạnh kề.
Khi làm bài, hãy xác định đúng góc ngoài, điểm cắt và hai cạnh tương ứng. Sau đó, lập tỉ lệ theo định lý phân giác ngoài.
Nếu bài có cả phân giác trong và phân giác ngoài tại một đỉnh, hãy nhớ chúng vuông góc với nhau.
