Độ dài dây cung là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm trên một đường tròn. Muốn tính nhanh, học sinh cần biết bán kính, góc ở tâm hoặc khoảng cách từ tâm đến dây cung.
Điểm chính
- Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn.
- Đường kính là dây cung dài nhất của một đường tròn.
- Có thể tính độ dài dây cung bằng bán kính và góc ở tâm.
- Cũng có thể tính dây cung bằng bán kính và khoảng cách từ tâm đến dây.
Dây cung là gì?
Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên một đường tròn. Hai đầu mút của dây cung đều nằm trên đường tròn.
Nếu dây cung đi qua tâm đường tròn, dây đó là đường kính. Đây là dây cung dài nhất của đường tròn.
Nói dễ hiểu, dây cung là “đường thẳng bên trong” nối hai điểm trên mép đường tròn.
Trong tiếng Anh, dây cung được gọi là chord. Khái niệm này xuất hiện nhiều trong bài toán đường tròn lớp 9.
Độ dài dây cung là gì?
Độ dài dây cung là độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. Kết quả dùng đơn vị độ dài.
Độ dài dây cung phụ thuộc vào vị trí của dây và bán kính đường tròn. Dây càng gần tâm thì thường càng dài.
Dây cung dài nhất là đường kính. Nếu bán kính là R, đường kính có độ dài 2R.
| Khái niệm | Ý nghĩa | Ghi nhớ |
|---|---|---|
| Dây cung | Đoạn nối hai điểm trên đường tròn | Không nhất thiết qua tâm |
| Đường kính | Dây cung đi qua tâm | Dài nhất |
| Bán kính | Đoạn nối tâm với điểm trên đường tròn | Bằng nửa đường kính |
Công thức độ dài dây cung theo góc ở tâm
Nếu biết bán kính R và góc ở tâm n, độ dài dây cung được tính bằng công thức c = 2R sin(n/2).
Trong đó, c là độ dài dây cung. R là bán kính đường tròn. n là số đo góc ở tâm chắn dây cung đó.
Công thức này rất hay dùng khi đề cho góc ở tâm. Nếu n tính bằng độ, hãy dùng chế độ độ khi bấm máy.
Công thức độ dài dây cung theo khoảng cách đến tâm
Nếu biết bán kính R và khoảng cách từ tâm đến dây là d, ta dùng công thức c = 2√(R2 - d2).
Công thức này xuất phát từ định lý Pytago. Đường vuông góc từ tâm đến dây đi qua trung điểm của dây.
Khi đó, nửa dây cung, khoảng cách d và bán kính R tạo thành một tam giác vuông.
| Dữ kiện đã biết | Công thức nên dùng | Ghi chú |
|---|---|---|
| Bán kính và góc ở tâm | c = 2R sin(n/2) | Phù hợp bài có góc |
| Bán kính và khoảng cách đến tâm | c = 2√(R2 - d2) | Dùng định lý Pytago |
| Dây là đường kính | c = 2R | Dây dài nhất |
Nếu đề có góc, dùng công thức sin. Nếu đề có khoảng cách từ tâm đến dây, dùng công thức Pytago.
Tính chất quan trọng của dây cung
Dây cung có nhiều tính chất cần nhớ. Các tính chất này giúp giải bài toán nhanh hơn công thức thuần túy.
- Dây bằng nhau: Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
- Cách đều tâm: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
- Dây gần tâm hơn: Dây nào gần tâm hơn thì dây đó dài hơn.
- Đường kính vuông góc với dây: Nếu đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây.
Đừng nhầm dây cung với cung tròn. Dây cung là đoạn thẳng, còn cung tròn là đường cong.
Cách tính độ dài dây cung từng bước
Trước hết, hãy xác định đề cho dữ kiện nào. Đây là bước quyết định chọn công thức đúng.
Nếu có góc ở tâm, dùng công thức lượng giác. Nếu có khoảng cách từ tâm đến dây, dùng Pytago.
- Bước 1: Xác định bán kính R của đường tròn.
- Bước 2: Xác định đề cho góc ở tâm hay khoảng cách đến tâm.
- Bước 3: Chọn công thức tính độ dài dây cung phù hợp.
- Bước 4: Thay số, tính toán và ghi đơn vị độ dài.
Theo kinh nghiệm, hãy vẽ thêm đoạn vuông góc từ tâm đến dây. Hình phụ này giúp bài rõ hơn.
Ví dụ tính độ dài dây cung có lời giải
Ví dụ 1: Đường tròn có bán kính 10 cm. Góc ở tâm chắn dây cung bằng 60 độ. Tính dây cung.
Lời giải: c = 2R sin(n/2) = 2 x 10 x sin30 độ = 20 x 1/2 = 10 cm.
Ví dụ 2: Đường tròn có bán kính 13 cm. Khoảng cách từ tâm đến dây là 5 cm. Tính dây cung.
Lời giải: c = 2√(R2 - d2) = 2√(132 - 52) = 2√144 = 24 cm.
Ví dụ 3: Một dây cung là đường kính của đường tròn bán kính 7 cm. Tính độ dài dây cung.
Lời giải: Vì dây là đường kính, c = 2R = 14 cm.
Ví dụ 4: Đường tròn có R = 8 cm, dây cung cách tâm 0 cm. Tính độ dài dây.
Lời giải: Dây đi qua tâm nên là đường kính. Vậy c = 2R = 16 cm.
Ứng dụng của độ dài dây cung trong hình học
Độ dài dây cung thường xuất hiện trong bài toán đường tròn, góc ở tâm và khoảng cách từ tâm đến dây.
Thực tế là nhiều bài không hỏi trực tiếp dây cung. Chúng yêu cầu dùng dây cung để tính cạnh, góc hoặc chứng minh.
- Tính cạnh trong tam giác: Dây cung có thể là một cạnh của tam giác nội tiếp.
- Chứng minh hai dây bằng nhau: Dùng tính chất cách đều tâm.
- Tìm khoảng cách đến tâm: Biến đổi công thức Pytago.
- Giải bài hình tròn: Kết hợp với cung tròn, góc ở tâm và đường kính.
Phân biệt dây cung và cung tròn
Dây cung và cung tròn đều liên quan đến hai điểm trên đường tròn. Tuy vậy, chúng hoàn toàn khác nhau.
Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm. Cung tròn là phần đường cong nằm giữa hai điểm trên đường tròn.
| Tiêu chí | Dây cung | Cung tròn |
|---|---|---|
| Hình dạng | Đoạn thẳng | Đường cong |
| Nằm ở đâu | Bên trong đường tròn | Trên đường tròn |
| Cách tính thường gặp | Dùng sin hoặc Pytago | Dùng góc ở tâm và chu vi |
| Ví dụ | Đoạn AB | Cung AB |
Bài tập tự luyện
Bài 1: Đường tròn có R = 6 cm. Góc ở tâm chắn dây bằng 60 độ. Tính dây cung.
Lời giải: c = 2 x 6 x sin30 độ = 12 x 1/2 = 6 cm.
Bài 2: Đường tròn có R = 10 cm. Dây cung cách tâm 6 cm. Tính độ dài dây cung.
Lời giải: c = 2√(102 - 62) = 2√64 = 16 cm.
Bài 3: Một dây cung là đường kính của đường tròn bán kính 9 cm. Tính dây cung.
Lời giải: c = 2R = 18 cm.
Bài 4: Đường tròn có R = 5 cm. Dây cung cách tâm 3 cm. Tính độ dài dây.
Lời giải: c = 2√(52 - 32) = 2√16 = 8 cm.
Lỗi sai thường gặp khi tính độ dài dây cung
Lỗi đầu tiên là nhầm bán kính với đường kính. Nếu đề cho đường kính, hãy chia đôi trước.
Lỗi thứ hai là quên nhân đôi nửa dây cung. Công thức Pytago thường chỉ tính được nửa dây trước.
Lỗi khác là dùng nhầm công thức độ dài cung tròn. Dây cung là đoạn thẳng, không phải đường cong.
Trước khi tính, hãy xác định rõ đề hỏi dây cung hay cung tròn. Hai đại lượng này có công thức khác nhau.
Câu hỏi thường gặp
Dây cung là gì?
Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên một đường tròn.
Đường kính có phải dây cung không?
Có. Đường kính là dây cung đi qua tâm và là dây cung dài nhất.
Công thức độ dài dây cung theo góc ở tâm là gì?
Công thức là c = 2R sin(n/2), với R là bán kính và n là góc ở tâm.
Công thức độ dài dây cung theo khoảng cách đến tâm là gì?
Công thức là c = 2√(R2 - d2), với d là khoảng cách từ tâm đến dây.
Dây cung càng gần tâm thì có dài hơn không?
Có. Dây cung càng gần tâm thì càng dài, và dài nhất khi đi qua tâm.
Kết luận
Độ dài dây cung là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. Đây là kiến thức quan trọng trong hình học phẳng.
Nếu biết góc ở tâm, hãy dùng công thức c = 2R sin(n/2). Nếu biết khoảng cách từ tâm đến dây, hãy dùng c = 2√(R2 - d2).
Khi làm bài, hãy phân biệt rõ dây cung với cung tròn. Cách này giúp chọn đúng công thức và tránh sai kết quả.
