Diện tích hình viên phân là phần diện tích nằm giữa một cung tròn và dây cung tương ứng. Với học sinh lớp 9, cách tính phổ biến nhất là lấy diện tích hình quạt tròn trừ diện tích tam giác tạo bởi hai bán kính.
Điểm chính
- Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung đó.
- Diện tích hình viên phân thường bằng diện tích hình quạt trừ diện tích tam giác.
- Muốn tính đúng, cần xác định bán kính và góc ở tâm.
- Bài lớp 9 thường dùng góc đặc biệt như 60 độ, 90 độ hoặc 120 độ.
Hình viên phân là gì?
Hình viên phân là phần của hình tròn được giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung đó.
Nói dễ hiểu, nếu lấy một dây cung cắt đường tròn, phần nhỏ nằm giữa dây và cung là hình viên phân.
Trong hình học lớp 9, hình viên phân thường xuất hiện sau khi học cung, dây cung, góc ở tâm và hình quạt tròn.
Trong tiếng Anh, hình viên phân thường được gọi là circular segment. Nó khác với circular sector, tức hình quạt tròn.
Diện tích hình viên phân là gì?
Diện tích hình viên phân là phần diện tích nằm giữa cung tròn và dây cung. Kết quả dùng đơn vị vuông.
Thông thường, ta không tính trực tiếp phần cong này. Thay vào đó, ta tách nó từ hình quạt tròn.
Với viên phân nhỏ, diện tích viên phân bằng diện tích hình quạt tròn trừ diện tích tam giác tạo bởi hai bán kính.
Công thức diện tích hình viên phân
Công thức thường dùng là S viên phân = S quạt tròn - S tam giác.
Giả sử O là tâm đường tròn, A và B là hai đầu mút dây cung. Khi đó, hình quạt là OAB và tam giác là tam giác OAB.
Nếu góc ở tâm bằng n độ và bán kính là R, diện tích hình quạt tròn là S quạt = πR2n/360.
| Đại lượng | Công thức | Ghi chú |
|---|---|---|
| Diện tích quạt tròn | S = πR2n/360 | n tính bằng độ |
| Diện tích tam giác OAB | S = 1/2 x OA x OB x sin n | OA = OB = R |
| Diện tích viên phân nhỏ | S viên phân = S quạt - S tam giác | Dùng khi cung nhỏ |
Hãy vẽ thêm hai bán kính nối tâm với hai đầu dây cung. Khi đó, bài toán tách thành quạt tròn và tam giác.
Cách tính diện tích hình viên phân từng bước
Trước hết, hãy xác định hình viên phân cần tính là phần nhỏ hay phần lớn. Đề lớp 9 thường hỏi phần nhỏ.
Sau đó, xác định bán kính và góc ở tâm chắn cung. Đây là hai dữ kiện quan trọng nhất.
- Bước 1: Xác định tâm O, bán kính R và hai đầu mút A, B của dây cung.
- Bước 2: Nối OA và OB để tạo hình quạt tròn OAB.
- Bước 3: Tính diện tích hình quạt tròn theo góc ở tâm.
- Bước 4: Tính diện tích tam giác OAB.
- Bước 5: Lấy diện tích quạt tròn trừ diện tích tam giác.
Đừng nhầm hình viên phân với hình quạt tròn. Hình viên phân không có hai cạnh là bán kính.
Ví dụ tính diện tích hình viên phân có lời giải
Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 6 cm. Góc AOB bằng 60 độ. Tính diện tích viên phân nhỏ giới hạn bởi cung AB và dây AB.
Lời giải: Diện tích quạt OAB là S quạt = π x 62 x 60/360 = 6π cm2.
Vì OA = OB = 6 cm và góc AOB = 60 độ, tam giác OAB là tam giác đều cạnh 6 cm.
Diện tích tam giác OAB là S tam giác = 62√3/4 = 9√3 cm2.
Vậy diện tích viên phân là S = 6π - 9√3 cm2.
Ví dụ 2: Đường tròn bán kính 4 cm có góc ở tâm 90 độ. Tính diện tích viên phân nhỏ.
Lời giải: S quạt = π x 42 x 90/360 = 4π cm2.
Tam giác OAB vuông cân tại O nên S tam giác = 1/2 x 4 x 4 = 8 cm2.
Vậy S viên phân = 4π - 8 cm2.
Ví dụ 3: Đường tròn bán kính 10 cm có góc ở tâm 120 độ. Tính diện tích viên phân nhỏ.
Lời giải: S quạt = π x 102 x 120/360 = 100π/3 cm2.
Diện tích tam giác OAB là 1/2 x 10 x 10 x sin120 độ = 25√3 cm2.
Vậy S viên phân = 100π/3 - 25√3 cm2.
Trường hợp góc ở tâm đặc biệt
Nhiều bài lớp 9 dùng góc 60 độ, 90 độ hoặc 120 độ. Các góc này giúp tính tam giác OAB nhanh hơn.
Với góc 60 độ, tam giác OAB là tam giác đều. Với góc 90 độ, tam giác OAB là tam giác vuông cân.
Với góc 120 độ, ta thường dùng công thức diện tích tam giác có sin120 độ bằng √3/2.
| Góc ở tâm | Dạng tam giác OAB | Cách tính nhanh |
|---|---|---|
| 60 độ | Tam giác đều | S = R2√3/4 |
| 90 độ | Tam giác vuông cân | S = R2/2 |
| 120 độ | Tam giác cân | S = R2√3/4 |
| 180 độ | Tam giác suy biến | Viên phân là nửa hình tròn |
Phân biệt hình viên phân và hình quạt tròn
Hình viên phân và hình quạt tròn đều liên quan đến cung tròn. Tuy vậy, đường biên của chúng khác nhau.
Hình quạt tròn được giới hạn bởi hai bán kính và một cung. Hình viên phân được giới hạn bởi một dây và một cung.
| Tiêu chí | Hình viên phân | Hình quạt tròn |
|---|---|---|
| Đường biên | Một dây và một cung | Hai bán kính và một cung |
| Cách tính thường gặp | Quạt trừ tam giác | Dùng πR2n/360 |
| Có chứa tâm không | Thường không chứa tâm | Luôn có tâm ở đỉnh quạt |
Ứng dụng của hình viên phân trong hình học
Hình viên phân giúp học sinh hiểu rõ hơn mối liên hệ giữa cung, dây và diện tích trong đường tròn.
Thực tế là dạng này hay xuất hiện trong bài toán diện tích phần tô màu. Nó cũng giúp luyện kỹ năng tách hình.
- Tính diện tích phần tô màu: Tách hình phức tạp thành quạt tròn và tam giác.
- Ôn công thức đường tròn: Kết hợp bán kính, cung, dây và góc ở tâm.
- Luyện tư duy hình học: Nhận biết phần cần cộng hoặc trừ.
- Giải bài thực tế: Ước lượng diện tích các mảng cong trong thiết kế.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Đường tròn bán kính 3 cm có góc ở tâm 60 độ. Tính diện tích viên phân nhỏ.
Lời giải: S quạt = π x 32 x 60/360 = 3π/2 cm2. S tam giác = 32√3/4 = 9√3/4 cm2. Vậy S = 3π/2 - 9√3/4 cm2.
Bài 2: Đường tròn bán kính 8 cm có góc ở tâm 90 độ. Tính diện tích viên phân nhỏ.
Lời giải: S quạt = π x 82 x 90/360 = 16π cm2. S tam giác = 1/2 x 8 x 8 = 32 cm2. Vậy S = 16π - 32 cm2.
Bài 3: Đường tròn bán kính 6 cm có góc ở tâm 120 độ. Tính diện tích viên phân nhỏ.
Lời giải: S quạt = π x 62 x 120/360 = 12π cm2. S tam giác = 1/2 x 6 x 6 x sin120 độ = 9√3 cm2. Vậy S = 12π - 9√3 cm2.
Bài 4: Một hình viên phân được tạo bởi cung 180 độ trong đường tròn bán kính 5 cm. Tính diện tích.
Lời giải: Khi góc ở tâm bằng 180 độ, viên phân là nửa hình tròn. Vậy S = π x 52/2 = 25π/2 cm2.
Lỗi sai thường gặp khi tính diện tích hình viên phân
Lỗi đầu tiên là lấy luôn diện tích hình quạt tròn làm diện tích viên phân. Cách này chỉ đúng trong vài trường hợp đặc biệt.
Lỗi thứ hai là quên trừ diện tích tam giác OAB. Đây là bước chính của dạng bài viên phân nhỏ.
Lỗi khác là dùng sai góc ở tâm. Góc ở tâm phải là góc chắn đúng cung tạo nên viên phân.
Khi gặp phần cong cần tính, hãy tô riêng hình quạt và tam giác. Sau đó quyết định cộng hay trừ.
Câu hỏi thường gặp
Hình viên phân là gì?
Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung đó.
Công thức diện tích hình viên phân là gì?
Công thức thường dùng là diện tích hình quạt tròn trừ diện tích tam giác tạo bởi hai bán kính.
Hình viên phân khác hình quạt tròn thế nào?
Hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính và một cung, còn hình viên phân giới hạn bởi một cung và một dây.
Khi nào diện tích viên phân bằng diện tích quạt tròn trừ tam giác?
Cách này dùng khi viên phân nhỏ nằm giữa cung nhỏ và dây cung tương ứng.
Bài hình viên phân lớp 9 cần nhớ gì?
Cần nhớ công thức diện tích quạt tròn, diện tích tam giác và mối liên hệ giữa cung, dây, góc ở tâm.
Kết luận
Diện tích hình viên phân thường được tính bằng cách lấy diện tích hình quạt tròn trừ diện tích tam giác tạo bởi hai bán kính.
Muốn làm đúng, hãy xác định cung, dây, bán kính và góc ở tâm. Sau đó, tách hình thành các phần quen thuộc.
Với học sinh lớp 9, đây là dạng bài nên luyện nhiều qua hình tô màu. Cách tách hình càng rõ thì lời giải càng chắc.
