Độ dài đoạn thẳng là khoảng cách giữa hai đầu mút của một đoạn thẳng. Tùy dữ kiện đề bài, học sinh có thể tính độ dài bằng thước đo, trục số, hệ tọa độ, định lý Pytago hoặc các hệ thức hình học quen thuộc.
Điểm chính
- Độ dài đoạn thẳng luôn là một số không âm.
- Trên trục số, AB = |xB - xA|.
- Trong mặt phẳng tọa độ, AB = √[(xB - xA)2 + (yB - yA)2].
- Nếu đoạn thẳng là cạnh tam giác vuông, có thể dùng định lý Pytago.
Độ dài đoạn thẳng là gì?
Độ dài đoạn thẳng là khoảng cách từ đầu mút này đến đầu mút kia của đoạn thẳng.
Nếu đoạn thẳng có hai đầu mút là A và B, độ dài đoạn thẳng thường được ký hiệu là AB.
Độ dài đoạn thẳng không âm. Nếu hai điểm A và B trùng nhau, độ dài AB bằng 0.
Cách đo độ dài đoạn thẳng bằng thước
Với đoạn thẳng vẽ trên giấy, cách đơn giản nhất là dùng thước thẳng có chia vạch.
- Bước 1: Đặt vạch 0 của thước trùng với một đầu mút.
- Bước 2: Giữ thước thẳng theo đoạn cần đo.
- Bước 3: Đọc số đo tại đầu mút còn lại.
- Bước 4: Ghi kết quả kèm đơn vị như cm, mm hoặc m.
Khi đo bằng thước, cần đặt đúng vạch 0. Nếu đặt lệch, kết quả dễ sai.
Công thức độ dài đoạn thẳng trên trục số
Nếu hai điểm A và B nằm trên trục số, có tọa độ lần lượt là xA và xB, thì độ dài AB được tính bằng giá trị tuyệt đối của hiệu hai tọa độ.
AB = |xB - xA|
| Dữ kiện | Công thức | Ví dụ |
|---|---|---|
| A(xA), B(xB) | AB = |xB - xA| | A(2), B(7) thì AB = 5 |
| Hai điểm đối nhau qua O | AB = |xA| + |xB| | A(-3), B(4) thì AB = 7 |
Công thức độ dài đoạn thẳng trong mặt phẳng tọa độ
Trong hệ tọa độ Oxy, nếu A(x1; y1) và B(x2; y2), độ dài đoạn thẳng AB được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm.
AB = √[(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2]
Trong tọa độ, hãy lấy hiệu hoành độ và hiệu tung độ trước, sau đó bình phương rồi cộng lại.
Tính độ dài đoạn thẳng bằng định lý Pytago
Nếu đoạn thẳng cần tính là cạnh của một tam giác vuông, ta có thể dùng định lý Pytago.
Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c, ta có:
c2 = a2 + b2
Nếu cần tính cạnh huyền, lấy căn bậc hai của tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Nếu cần tính một cạnh góc vuông, lấy căn bậc hai của hiệu bình phương cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại.
| Cần tính | Công thức |
|---|---|
| Cạnh huyền c | c = √(a2 + b2) |
| Cạnh góc vuông a | a = √(c2 - b2) |
| Cạnh góc vuông b | b = √(c2 - a2) |
Tính độ dài đoạn thẳng khi biết trung điểm
Nếu M là trung điểm của đoạn AB, thì M chia AB thành hai đoạn bằng nhau.
AM = MB = AB/2
AB = 2AM = 2MB
Ví dụ, nếu M là trung điểm của AB và AM = 6 cm, thì AB = 12 cm.
Chỉ biết AM = MB chưa đủ nếu chưa biết M nằm trên đoạn AB. Muốn kết luận M là trung điểm, cần có cả hai điều kiện.
Tính độ dài đoạn thẳng bằng hệ thức tam giác
Trong nhiều bài hình học, đoạn thẳng cần tính nằm trong tam giác. Khi đó, có thể dùng các hệ thức quen thuộc.
- Tam giác vuông: Dùng định lý Pytago hoặc hệ thức lượng.
- Tam giác đồng dạng: Lập tỉ lệ các cạnh tương ứng.
- Định lý Talet: Dùng khi có đường thẳng song song cắt hai cạnh tam giác.
- Đường trung tuyến: Dùng tính chất trung điểm hoặc công thức trung tuyến nếu cần.
Ví dụ tính độ dài đoạn thẳng có lời giải
Ví dụ 1: Trên trục số, A có tọa độ -2 và B có tọa độ 5. Tính AB.
Lời giải: AB = |5 - (-2)| = |7| = 7.
Ví dụ 2: Cho A(1; 2), B(4; 6). Tính độ dài AB.
Lời giải: AB = √[(4 - 1)2 + (6 - 2)2] = √(32 + 42) = √25 = 5.
Ví dụ 3: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính BC.
Lời giải: BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100.
Vậy BC = 10 cm.
Ví dụ 4: M là trung điểm của AB. Biết AM = 4 cm. Tính AB.
Lời giải: Vì M là trung điểm AB, ta có AB = 2AM = 8 cm.
Ứng dụng của độ dài đoạn thẳng trong hình học
Độ dài đoạn thẳng là dữ kiện nền tảng trong hầu hết bài toán hình học. Nó giúp tính chu vi, diện tích, khoảng cách và chứng minh nhiều quan hệ hình học.
- Tính chu vi: Cộng độ dài các cạnh của hình.
- Tính diện tích: Dùng làm đáy, chiều cao hoặc cạnh.
- Chứng minh bằng nhau: So sánh độ dài các đoạn thẳng.
- Giải tọa độ: Dùng công thức khoảng cách giữa hai điểm.
- Giải bài thực tế: Tính khoảng cách giữa hai vị trí trên bản đồ hoặc mặt phẳng.
Các dạng bài tập thường gặp
| Dạng bài | Phương pháp |
|---|---|
| Đoạn thẳng trên trục số | Dùng AB = |xB - xA| |
| Đoạn thẳng trong tọa độ Oxy | Dùng công thức khoảng cách |
| Cạnh tam giác vuông | Dùng định lý Pytago |
| Đoạn thẳng có trung điểm | Dùng AB = 2AM |
| Đoạn trong tam giác đồng dạng | Lập tỉ lệ cạnh tương ứng |
Bài tập tự luyện
Bài 1: Trên trục số, A(-4), B(3). Tính AB.
Lời giải: AB = |3 - (-4)| = 7.
Bài 2: Cho A(2; -1), B(5; 3). Tính AB.
Lời giải: AB = √[(5 - 2)2 + (3 - (-1))2] = √(9 + 16) = 5.
Bài 3: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 9 cm và 12 cm. Tính cạnh huyền.
Lời giải: c = √(92 + 122) = √225 = 15 cm.
Bài 4: M là trung điểm của CD. Biết CD = 18 cm. Tính CM.
Lời giải: CM = CD/2 = 9 cm.
Lỗi sai thường gặp khi tính độ dài đoạn thẳng
Lỗi đầu tiên là quên dùng giá trị tuyệt đối khi tính khoảng cách trên trục số.
Lỗi thứ hai là nhầm công thức tọa độ, chỉ lấy hiệu hoành độ mà quên hiệu tung độ.
Lỗi khác là dùng sai định lý Pytago, đặc biệt khi chưa xác định đúng cạnh huyền.
Trước khi tính, hãy xác định đoạn thẳng nằm trên trục số, trong tọa độ, hay trong một tam giác. Sau đó chọn công thức phù hợp.
Câu hỏi thường gặp
Độ dài đoạn thẳng là gì?
Độ dài đoạn thẳng là khoảng cách giữa hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Công thức tính độ dài đoạn thẳng trên trục số là gì?
Nếu A(xA), B(xB), thì AB = |xB - xA|.
Công thức tính độ dài đoạn thẳng trong tọa độ Oxy là gì?
Nếu A(x1; y1), B(x2; y2), thì AB = √[(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2].
Khi nào dùng định lý Pytago để tính đoạn thẳng?
Dùng khi đoạn thẳng là cạnh của tam giác vuông hoặc có thể tạo được tam giác vuông phụ.
Độ dài đoạn thẳng có âm không?
Không. Độ dài đoạn thẳng luôn không âm.
Kết luận
Độ dài đoạn thẳng là khoảng cách giữa hai đầu mút và luôn không âm. Đây là đại lượng cơ bản trong hình học phẳng.
Trên trục số, dùng công thức AB = |xB - xA|. Trong mặt phẳng tọa độ, dùng công thức khoảng cách giữa hai điểm.
Nếu đoạn thẳng nằm trong tam giác vuông, hãy dùng định lý Pytago. Nếu bài có trung điểm, đồng dạng hoặc Talet, hãy lập quan hệ đoạn thẳng tương ứng để tính nhanh hơn.
