Công thức tính diện tích và thể tích hình lăng trụ đứng có vẻ đa dạng nhưng thực ra chỉ cần nhớ ba công thức thống nhất: Sxq = Cđáy × h, Stp = Sxq + 2Sđáy và V = Sđáy × h — áp dụng được cho mọi loại đáy đa giác. Bài viết này trình bày đầy đủ định nghĩa, tính chất, ba công thức cốt lõi, bảng diện tích đáy cho từng hình phổ biến, ví dụ từng bước và bảng so sánh các trường hợp đặc biệt.
Điểm chính
- Diện tích xung quanh: Sxq = Cđáy × h (chu vi đáy nhân chiều cao) — áp dụng cho mọi dạng đáy đa giác.
- Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2×Sđáy (cộng thêm hai mặt đáy).
- Thể tích: V = Sđáy × h (diện tích đáy nhân chiều cao) — công thức thống nhất cho mọi loại lăng trụ đứng.
- Chiều cao lăng trụ đứng = độ dài cạnh bên (vì cạnh bên vuông góc với đáy).
- Điểm khác biệt: phần tính Sđáy phụ thuộc hình dạng đáy — tam giác, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật.
Định Nghĩa Hình Lăng Trụ Đứng
Hình lăng trụ đứng là hình khối không gian có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và song song với nhau, các mặt bên là những hình chữ nhật vuông góc với mặt phẳng đáy. Chiều cao h của hình lăng trụ đứng chính là độ dài cạnh bên (vì cạnh bên ⊥ mặt đáy).
Dựa vào hình dạng đa giác đáy, ta gọi tên:
- Lăng trụ đứng tam giác: 2 đáy tam giác + 3 mặt bên chữ nhật = 5 mặt, 9 cạnh, 6 đỉnh.
- Lăng trụ đứng tứ giác: 2 đáy tứ giác + 4 mặt bên chữ nhật = 6 mặt, 12 cạnh, 8 đỉnh.
- Lăng trụ đứng n-giác: 2 đáy n-giác + n mặt bên chữ nhật = (n+2) mặt, 3n cạnh, 2n đỉnh.
Ba Công Thức Cốt Lõi
Công thức 1 — Diện tích xung quanh
Sxq = Cđáy × h
Trong đó Cđáy là chu vi đa giác đáy, h là chiều cao (= độ dài cạnh bên). Mỗi mặt bên là hình chữ nhật có chiều dài bằng một cạnh đáy và chiều rộng bằng h. Tổng diện tích tất cả mặt bên = tổng (cạnh đáy × h) = (tổng cạnh đáy) × h = Cđáy × h.
Công thức 2 — Diện tích toàn phần
Stp = Sxq + 2×Sđáy
Bổ sung diện tích hai mặt đáy (hai đáy bằng nhau nên nhân đôi). Diện tích toàn phần là tổng diện tích tất cả các mặt của lăng trụ.
Công thức 3 — Thể tích
V = Sđáy × h
Đây là công thức thống nhất cho mọi lăng trụ đứng — bất kể đáy là hình gì. Chứng minh từ nguyên lý Cavalieri: cắt lăng trụ thành nhiều lát mỏng song song với đáy, mỗi lát có diện tích Sđáy và độ dày dh, tổng thể tích = Sđáy × h.
Bảng Diện Tích Đáy Theo Từng Hình Phổ Biến
Đây là phần nhiều học sinh dễ nhầm — cần tính đúng Sđáy cho từng loại đáy:
| Hình dạng đáy | Diện tích đáy Sđáy | Chu vi đáy Cđáy |
|---|---|---|
| Tam giác (cạnh a,b,c; cao h₀) | (1/2) × đáy × h₀ | a + b + c |
| Tam giác đều cạnh a | (√3/4) × a² | 3a |
| Hình vuông cạnh a | a² | 4a |
| Hình chữ nhật a×b | a × b | 2(a+b) |
| Hình thang (đáy a,b; cao h₀) | (a+b)/2 × h₀ | a+b+c+d (4 cạnh) |
| Hình bình hành (cạnh a; cao h₀) | a × h₀ | 2(a+b) |
| Đa giác đều n cạnh, cạnh a | (na²)/(4 tan(π/n)) | n × a |
Ví Dụ 1 — Lăng Trụ Đứng Tam Giác
Đề bài: Lăng trụ đứng ABC.DEF có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Chiều cao lăng trụ h = 7 cm. Tính Sxq, Stp, V.
- Chu vi đáy: Cđáy = 3 + 4 + 5 = 12 cm.
- Diện tích đáy: Sđáy = (1/2) × AB × AC = (1/2) × 3 × 4 = 6 cm² (vuông tại A).
- Diện tích xung quanh: Sxq = 12 × 7 = 84 cm².
- Diện tích toàn phần: Stp = 84 + 2 × 6 = 96 cm².
- Thể tích: V = 6 × 7 =42 cm³.
Ví Dụ 2 — Lăng Trụ Đứng Tứ Giác Đáy Hình Thang
Đề bài: Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thang cân: đáy lớn a = 8 cm, đáy nhỏ b = 4 cm, cạnh bên hình thang c = 5 cm, chiều cao hình thang h₀ = 4 cm. Chiều cao lăng trụ h = 10 cm. Tính Sxq, Stp, V.
- Diện tích đáy: Sđáy = (8+4)/2 × 4 = 6 × 4 = 24 cm².
- Chu vi đáy: Cđáy = 8 + 4 + 5 + 5 = 22 cm (hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau).
- Sxq: 22 × 10 = 220 cm².
- Stp: 220 + 2 × 24 = 268 cm².
- V: 24 × 10 = 240 cm³.
Ví Dụ 3 — Hình Hộp Chữ Nhật (Lăng Trụ Đứng Tứ Giác Đặc Biệt)
Đề bài: Hình hộp chữ nhật có chiều dài 8 cm, chiều rộng 5 cm, chiều cao 10 cm. Tính Sxq, Stp, V.
- Sđáy: 8 × 5 = 40 cm².
- Cđáy: 2 × (8+5) = 26 cm.
- Sxq: 26 × 10 = 260 cm².
- Stp: 260 + 2 × 40 = 340 cm².
- V: 40 × 10 = 400 cm³.
Ví Dụ 4 — Lăng Trụ Đứng Tam Giác Đều
Đề bài: Lăng trụ đứng đều có đáy là tam giác đều cạnh a = 6 cm, chiều cao h = 9 cm. Tính Sxq, Stp, V.
- Sđáy: (√3/4) × 6² = 9√3 cm².
- Cđáy: 3 × 6 = 18 cm.
- Sxq: 18 × 9 = 162 cm².
- Stp: 162 + 2 × 9√3 = 162 + 18√3 ≈ 162 + 31,2 = 193,2 cm².
- V: 9√3 × 9 = 81√3 ≈ 140,3 cm³.
Tham khảo thêm ví dụ phong phú tại tính diện tích thể tích lăng trụ đứng tam giác tứ giác trên Blogchiasekienthuc và lý thuyết SGK tại lý thuyết diện tích xung quanh và thể tích lăng trụ đứng lớp 7 trên VietJack. Xem thêm tính chất hình chiếu và ứng dụng trong hình học lớp 7 để thấy mối liên hệ giữa chiều cao lăng trụ và khoảng cách vuông góc, và hình mặt cầu định nghĩa tính chất và công thức tính toán chi tiết để đối chiếu công thức diện tích-thể tích của các hình khối.
So Sánh Các Trường Hợp Đặc Biệt
| Loại lăng trụ | Đáy | Sđáy | Cđáy | Ghi chú |
|---|---|---|---|---|
| Lăng trụ đứng tam giác vuông | Tam giác vuông cạnh a,b | ab/2 | a+b+√(a²+b²) | Phổ biến nhất trong đề thi |
| Lăng trụ đứng đều (đáy tam giác đều) | Tam giác đều cạnh a | a²√3/4 | 3a | Đẹp, hay gặp trong lớp 12 |
| Hình hộp chữ nhật | Hình chữ nhật a×b | ab | 2(a+b) | Trường hợp đặc biệt nhất |
| Hình lập phương | Hình vuông cạnh a | a² | 4a | V = a³, Stp = 6a² |
| Lăng trụ đứng tứ giác đáy thang | Hình thang a,b,h₀ | (a+b)h₀/2 | a+b+c+d | Chiều cao hình thang ≠ cạnh bên hình thang |
Ứng Dụng Thực Tế
Hình lăng trụ đứng xuất hiện khắp nơi trong kiến trúc và đời sống hàng ngày:
- Xây dựng: Cột nhà, dầm bê tông hình chữ nhật, khối tường — thể tích quyết định lượng bê tông cần đổ, diện tích xung quanh quyết định diện tích ván khuôn.
- Bao bì và đóng gói: Hộp sữa, hộp giấy, thùng carton — diện tích toàn phần là lượng bìa cần dùng, thể tích là sức chứa của hộp.
- Thủy lợi: Mương dẫn nước tiết diện hình thang — thể tích nước chứa = Sđáy thang × chiều dài mương.
- Địa chất: Tính lượng đất đào khi thi công con dốc hoặc mương — đất có dạng khối lăng trụ tam giác hoặc thang.
- Thiết kế sản phẩm: Tấm lịch để bàn hình lăng trụ tam giác, đèn hình lăng trụ — diện tích xung quanh là diện tích in ấn.
Câu Hỏi Thường Gặp
Công thức tính diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng là gì?
Sxq = Cđáy × h, trong đó Cđáy là chu vi đa giác đáy và h là chiều cao (= độ dài cạnh bên). Công thức này áp dụng thống nhất cho mọi loại lăng trụ đứng bất kể đáy là tam giác, tứ giác hay đa giác n cạnh.
Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng là gì?
V = Sđáy × h, trong đó Sđáy là diện tích một mặt đáy và h là chiều cao lăng trụ. Đây là công thức thống nhất — bước quan trọng nhất là tính đúng Sđáy phù hợp với hình dạng đáy (tam giác, hình thang, hình bình hành…).
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng tính như thế nào?
Stp = Sxq + 2×Sđáy. Tổng diện tích xung quanh (các mặt bên) cộng với diện tích hai mặt đáy (nhân 2 vì hai đáy bằng nhau). Đây là tổng diện tích toàn bộ bề mặt của lăng trụ đứng.
Chiều cao của hình lăng trụ đứng là gì?
Chiều cao của hình lăng trụ đứng chính là độ dài cạnh bên — vì trong lăng trụ đứng, cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Khác với lăng trụ nghiêng (cạnh bên nghiêng, chiều cao là khoảng cách vuông góc giữa hai đáy, ngắn hơn cạnh bên).
Lăng trụ đứng tam giác và tứ giác khác nhau ở điểm gì?
Khác nhau ở số mặt và cách tính Sđáy, Cđáy: lăng trụ tam giác có 5 mặt (3 mặt bên + 2 đáy tam giác), Cđáy = tổng 3 cạnh tam giác, Sđáy = diện tích tam giác. Lăng trụ tứ giác có 6 mặt (4 mặt bên + 2 đáy tứ giác), Cđáy = tổng 4 cạnh tứ giác, Sđáy = diện tích tứ giác. Ba công thức Sxq, Stp, V có cùng dạng cho cả hai.
Hình hộp chữ nhật có phải là lăng trụ đứng không?
Có, hình hộp chữ nhật là trường hợp đặc biệt của lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình chữ nhật. Hình lập phương là trường hợp đặc biệt hơn nữa (đáy là hình vuông và chiều cao bằng cạnh đáy). Với hình lập phương cạnh a: Stp = 6a², V = a³.
Kết Luận
Ba công thức cốt lõi Sxq = Cđáy×h, Stp = Sxq+2Sđáy và V = Sđáy×h thống nhất cho mọi loại hình lăng trụ đứng — bất kể đáy là tam giác, hình thang, hình chữ nhật hay bất kỳ đa giác nào. Bước duy nhất khác biệt giữa các loại lăng trụ là cách tính Sđáy và Cđáy phù hợp với hình dạng đáy. Bảng diện tích đáy các hình phẳng trong bài là công cụ tra nhanh giúp tránh nhầm công thức — đặc biệt với hình thang và hình bình hành (chiều cao trong công thức là chiều cao vuông góc, không phải cạnh xiên).
Bạn muốn xem thêm bài tập tính diện tích và thể tích lăng trụ đứng đều có đáy là lục giác đều, hoặc cần hướng dẫn tính lăng trụ đứng khi biết diện tích toàn phần và tìm chiều cao? Để lại câu hỏi bên dưới — mình sẽ giải đáp sớm nhất nhé!
