Công thức tính bán kính mặt cầu không chỉ có một dạng duy nhất — tùy vào dữ kiện bài cho, bán kính R có thể tính từ phương trình, từ khoảng cách điểm-điểm, từ tiếp xúc mặt phẳng, từ độ dài dây cung hoặc từ bán kính thiết diện. Bài viết này hệ thống hóa năm trường hợp tính bán kính, mỗi trường hợp có công thức rõ ràng và ví dụ giải từng bước, giúp bạn nhận dạng nhanh và áp dụng đúng trong mọi dạng đề thi.
Điểm chính
- Từ phương trình chính tắc (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R², bán kính đọc trực tiếp: R = √(giá trị vế phải).
- Từ phương trình tổng quát x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0: R = √(a²+b²+c²−d).
- Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P): R = d(I,(P)) = |Aa+Bb+Cc+D| / √(A²+B²+C²).
- Mặt cầu cắt đường thẳng theo dây cung AB: R = √(IH² + (AB/2)²) với H là hình chiếu I lên đường thẳng.
- Mặt cầu cắt mặt phẳng theo đường tròn bán kính r: R = √(r² + d²) với d = d(I,(P)).
Trường Hợp 1 — Đọc Bán Kính Từ Phương Trình Mặt Cầu
Từ phương trình chính tắc
Cho (S): (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R². Bán kính đọc thẳng từ vế phải:
R = √(giá trị vế phải)
Ví dụ 1a: (S): (x−1)²+(y+2)²+(z−4)²=20. R = √20 = 2√5 ≈ 4,47.
Từ phương trình tổng quát
Cho (S): x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0 (điều kiện a²+b²+c²−d >; 0):
R = √(a²+b²+c²−d)
Ví dụ 1b: (S): x²+y²+z²+2x−4y+6z−2=0. Đây là dạng −2ax với a=−1, −2by với b=2, −2cz với c=−3, d=−2. R = √(1+4+9−(−2)) = √16 =4.
Nếu phương trình viết dạng +Ax+By+Cz+D=0: tâm I(−A/2; −B/2; −C/2) và R = √(A²/4+B²/4+C²/4−D). Xem thêm điều kiện phương trình mặt cầu và bài toán hình học không gian cơ bản để ôn lại cách đổi giữa hai dạng phương trình.
Trường Hợp 2 — Bán Kính Từ Tâm Đến Điểm Thuộc Mặt Cầu
Khi biết tâm I(a;b;c) và mặt cầu đi qua điểm A(x₁;y₁;z₁):
R = IA = √[(x₁−a)²+(y₁−b)²+(z₁−c)²]
Đây là cách tính bán kính cơ bản nhất, suy trực tiếp từ định nghĩa: mọi điểm trên mặt cầu đều cách tâm một khoảng bằng R. Xem thêm tính khoảng cách giữa hai điểm và ứng dụng để ôn công thức khoảng cách hai điểm trong Oxyz.
Ví dụ 2: Tâm I(1; 2; −3), mặt cầu đi qua A(1; 0; 4). R = IA = √(0+4+49) = √53 ≈ 7,28.
Trường hợp đặc biệt — đường kính AB: Tâm I là trung điểm AB và R = AB/2 = IA.
Trường Hợp 3 — Bán Kính Khi Mặt Cầu Tiếp Xúc Mặt Phẳng
Khi mặt cầu S(I; R) tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0, bán kính bằng đúng khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng:
R = d(I, (P)) = |Aa+Bb+Cc+D| / √(A²+B²+C²)
Ví dụ 3a: Tâm I(2;1;1) tiếp xúc (P): 2x−y+2z+1=0. R = |4−1+2+1|/√(4+1+4) = 6/3 =2.
Ví dụ 3b — tâm thuộc mặt phẳng khác: Tâm I(2;1;−1) tiếp xúc (P): 2x−2y−z+3=0. R = |4−2+1+3|/√(4+4+1) = 6/3 =2.
Trường Hợp 4 — Bán Kính Từ Dây Cung Khi Cắt Đường Thẳng
Khi đường thẳng Δ cắt mặt cầu tại A và B (biết AB = l), gọi H là hình chiếu của tâm I lên Δ:
R = √(IH² + (l/2)²) = √[d(I,Δ)² + (AB/2)²]
Nguồn gốc: tam giác IAH vuông tại H (vì IH ⊥ Δ), IH = d(I,Δ), HA = AB/2 (H là trung điểm AB vì IH ⊥ AB). Theo Pythagore: IA² = IH² + HA² → R² = d² + (l/2)².
Ví dụ 4: Tâm I(2;3;−1), đường thẳng Δ: x/1=(y−2)/2=(z+1)/(−1) cắt mặt cầu theo dây cung AB = 16. Tìm R.
- Điểm trên Δ: M(0;2;−1), vectơ chỉ phương u=(1;2;−1).
- IM = I−M = (2;1;0). [u, IM] = (1×0−(−1)×1; (−1)×2−1×0; 1×1−2×2) = (1; −2; −3).
- IH = |[u, IM]| / |u| = √(1+4+9)/√(1+4+1) = √14/√6 = √(7/3).
- R² = IH² + (AB/2)² = 7/3 + 64 = 7/3 + 192/3 = 199/3. R = √(199/3) ≈8,15.
Trường Hợp 5 — Bán Kính Từ Thiết Diện Khi Cắt Mặt Phẳng
Khi mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (thiết diện), gọi d = d(I,(P)):
R = √(r² + d²)
Cũng từ Pythagore nhưng chiều ngược: tam giác vuông IHO' với IO' = R, IH = d, HO' = r. Ta có R² = d² + r².
Ví dụ 5: Mặt cầu tâm I(−2;3;4) cắt mặt phẳng tọa độ (Oxz) (tức y=0) theo đường tròn diện tích 16π. Tìm R.
- Diện tích thiết diện = πr² = 16π → r = 4.
- d = d(I, Oxy) = |y_I| = |3| = 3.
- R = √(4² + 3²) = √(16+9) = √25 =5.
Xem thêm cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng để hiểu rõ điểm H (tâm thiết diện) chính là hình chiếu của tâm I lên mặt phẳng cắt.
Bảng Tổng Hợp Năm Công Thức Tính Bán Kính
| Trường hợp | Dữ kiện đã biết | Công thức R |
|---|---|---|
| Từ phương trình chính tắc | (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=K | R = √K |
| Từ phương trình tổng quát | x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0 | R = √(a²+b²+c²−d) |
| Tâm I, điểm A trên mặt cầu | I(a;b;c), A(x₁;y₁;z₁) ∈ (S) | R = IA = √(Σ(xᵢ−aᵢ)²) |
| Tiếp xúc mặt phẳng (P) | I(a;b;c), (P): Ax+By+Cz+D=0 | R = |Aa+Bb+Cc+D| / √(A²+B²+C²) |
| Cắt đường thẳng, dây cung AB=l | d = d(I,Δ), AB = l | R = √(d² + l²/4) |
| Cắt mặt phẳng, thiết diện r | d = d(I,(P)), r | R = √(r² + d²) |
Bài Toán Tìm Tham Số Để Bán Kính Thỏa Điều Kiện
Dạng hay gặp trong đề thi: tìm m để mặt cầu có bán kính nhỏ nhất (hoặc bán kính bằng k).
Ví dụ 6: Tìm m để x²+y²+z²+2(m+2)x−2(m−3)z+m²−1=0 là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
- a=−(m+2), b=0, c=m−3, d=m²−1.
- R² = a²+b²+c²−d = (m+2)²+(m−3)²−(m²−1) = m²+4m+4+m²−6m+9−m²+1 = m²−2m+14.
- R² = (m−1)²+13 ≥ 13. Dấu bằng khi m=1 → R_min = √13.
Tham khảo thêm ví dụ phong phú tại phương trình mặt cầu và cách giải đầy đủ trên VietJack và công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu trên VietJack.
Câu Hỏi Thường Gặp
Công thức tính bán kính mặt cầu từ phương trình tổng quát là gì?
Từ x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0, bán kính R = √(a²+b²+c²−d). Điều kiện a²+b²+c²−d > 0 đảm bảo R là số thực dương. Nếu điều kiện không thỏa mãn, phương trình không phải mặt cầu.
Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng tính bán kính thế nào?
Khi mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0, bán kính R = khoảng cách từ I đến (P) = |Aa+Bb+Cc+D| / √(A²+B²+C²). Đây là trường hợp phổ biến nhất trong đề thi — bài cho "tiếp xúc" là áp dụng ngay công thức này.
Biết dây cung AB khi đường thẳng cắt mặt cầu, tính bán kính thế nào?
Gọi H là hình chiếu của tâm I lên đường thẳng, IH = d(I, Δ). Từ Pythagore trong tam giác vuông IHA: R² = IH² + (AB/2)², suy ra R = √(IH² + AB²/4). H là trung điểm AB do IH ⊥ AB.
Biết thiết diện bán kính r khi mặt phẳng cắt mặt cầu, tính R thế nào?
Gọi d = d(I, (P)). Từ Pythagore: R² = d² + r², suy ra R = √(d²+r²). Khi mặt phẳng qua tâm (d=0), thiết diện là đường tròn lớn có bán kính r = R.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cạnh a, b, c là bao nhiêu?
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật R = √(a²+b²+c²)/2— một nửa đường chéo không gian. Với hình lập phương cạnh a: R = a√3/2. Với hình vuông cạnh a trong mặt phẳng (2D): R = a√2/2.
Sai lầm phổ biến nhất khi tính bán kính mặt cầu là gì?
Ba lỗi hay gặp nhất: (1) không lấy căn bậc hai — thấy =16 ghi R=16 thay vì R=4; (2) nhầm dấu tọa độ tâm khiến tính a²+b²+c²−d ra kết quả sai; (3) trong bài dây cung chia AB cho 2 chưa trước khi bình phương — phải tính (AB/2)² chứ không phải AB².
Kết Luận
Năm công thức tính bán kính mặt cầu đều bắt nguồn từ một nguyên lý: R là khoảng cách từ tâm đến điểm trên mặt cầu — ứng dụng trực tiếp hoặc qua định lý Pythagore trong các tam giác vuông liên quan. Nhận dạng dữ kiện bài cho để chọn đúng công thức, kiểm tra điều kiện R > 0, và đừng quên lấy căn bậc hai ở bước cuối. Những thao tác đơn giản đó là đủ để xử lý mọi dạng bài về bán kính mặt cầu từ cơ bản đến nâng cao trong đề thi tốt nghiệp THPT.
Bạn muốn xem thêm bài tập tìm mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng song song, hoặc cần hướng dẫn tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện từng bước? Để lại câu hỏi bên dưới — mình sẽ giải đáp sớm nhất nhé!
