Chứng minh tia phân giác là dạng bài hình học cơ bản nhưng rất hay xuất hiện. Muốn làm tốt, bạn cần nắm định nghĩa, tính chất khoảng cách và định lý tia phân giác trong tam giác.
Điểm chính
- Tia phân giác chia một góc thành hai góc bằng nhau.
- Cách trực tiếp nhất là chứng minh hai góc tạo thành bằng nhau.
- Có thể dùng tính chất điểm cách đều hai cạnh của góc.
- Trong tam giác, định lý tia phân giác giúp xử lý tỉ số cạnh.
Tia phân giác là gì?
Tia phân giác của một góc là tia nằm bên trong góc đó. Tia này chia góc ban đầu thành hai góc bằng nhau.
Ví dụ, tia Oz là tia phân giác của góc xOy nếu góc xOz bằng góc zOy.
Đây là dấu hiệu cơ bản nhất. Khi gặp bài chứng minh, hãy nghĩ đến việc tạo ra hai góc bằng nhau.
Trong tiếng Anh, tia phân giác thường được gọi là angle bisector. Khái niệm này xuất hiện nhiều trong hình học Euclid.
Các cách chứng minh tia phân giác thường dùng
Có nhiều cách chứng minh một tia là tia phân giác. Mỗi cách phù hợp với một dạng dữ kiện khác nhau.
| Phương pháp | Dấu hiệu cần chứng minh | Khi nào nên dùng |
|---|---|---|
| Dùng định nghĩa | Hai góc bằng nhau | Khi dễ chứng minh góc |
| Dùng tam giác bằng nhau | Suy ra hai góc tương ứng bằng nhau | Khi có cạnh và góc tương ứng |
| Dùng khoảng cách | Một điểm cách đều hai cạnh của góc | Khi có đường vuông góc |
| Dùng định lý tia phân giác | Tỉ số cạnh hoặc đoạn thẳng | Khi bài nằm trong tam giác |
Chứng minh tia phân giác bằng định nghĩa
Đây là cách đơn giản nhất. Bạn chỉ cần chứng minh tia đó tạo ra hai góc bằng nhau.
Giả sử tia Oz nằm trong góc xOy. Nếu chứng minh được góc xOz bằng góc zOy, ta kết luận Oz là tia phân giác.
- Bước 1: Xác định góc lớn và tia nằm bên trong góc.
- Bước 2: Chứng minh hai góc nhỏ bằng nhau.
- Bước 3: Kết luận tia đã cho là tia phân giác.
Nếu bài cho góc bằng nhau sẵn, hãy dùng ngay định nghĩa. Không cần chứng minh dài hơn.
Chứng minh bằng hai tam giác bằng nhau
Nhiều bài không cho trực tiếp hai góc bằng nhau. Khi đó, bạn có thể chứng minh hai tam giác bằng nhau trước.
Sau khi hai tam giác bằng nhau, ta suy ra các góc tương ứng bằng nhau. Từ đó, tia cần xét là tia phân giác.
Các trường hợp hay dùng gồm cạnh cạnh cạnh, cạnh góc cạnh và góc cạnh góc. Với tam giác vuông, có thể dùng cạnh huyền cạnh góc vuông.
Đừng kết luận tia phân giác chỉ vì hình vẽ trông cân. Hình vẽ chỉ giúp định hướng, không thay chứng minh.
Chứng minh bằng tính chất khoảng cách
Một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Chiều ngược lại cũng đúng.
Vì vậy, nếu một điểm nằm trong góc và cách đều hai cạnh, đường nối đỉnh góc với điểm đó là tia phân giác.
Phương pháp này rất hữu ích khi đề có các đoạn vuông góc từ một điểm đến hai cạnh của góc.
Ví dụ: Điểm M nằm trong góc xOy. Từ M kẻ MA vuông góc Ox và MB vuông góc Oy. Nếu MA = MB, thì OM là tia phân giác góc xOy.
Định lý tia phân giác trong tam giác
Trong tam giác ABC, nếu AD là tia phân giác của góc A, với D nằm trên BC, thì DB chia DC bằng AB chia AC.
Nói gọn, tia phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.
Công thức thường dùng là DB/DC = AB/AC. Công thức này rất hay gặp ở bài tính độ dài.
| Dữ kiện | Kết luận thường dùng | Mục tiêu |
|---|---|---|
| AD là phân giác | DB/DC = AB/AC | Tính đoạn thẳng |
| DB/DC = AB/AC | AD là phân giác | Chứng minh phân giác |
| AB = AC | DB = DC nếu AD là phân giác | Khai thác tam giác cân |
Quy trình giải bài toán chứng minh tia phân giác
Trước hết, hãy xác định góc cần chứng minh có tia phân giác. Sau đó, xem dữ kiện đề bài nghiêng về góc, cạnh hay khoảng cách.
Nếu có góc bằng nhau, dùng định nghĩa. Nếu có hai tam giác, thử chứng minh tam giác bằng nhau.
Nếu có đường vuông góc và khoảng cách, dùng tính chất cách đều hai cạnh. Nếu có tỉ số cạnh, dùng định lý tia phân giác.
- Nhìn góc: Tìm hai góc cần chứng minh bằng nhau.
- Nhìn tam giác: Tìm hai tam giác có khả năng bằng nhau.
- Nhìn vuông góc: Kiểm tra khoảng cách đến hai cạnh của góc.
- Nhìn tỉ số: Dùng định lý tia phân giác hoặc đảo của định lý.
Ví dụ chứng minh tia phân giác có lời giải
Ví dụ 1: Cho góc xOy. Tia Oz nằm trong góc đó và góc xOz bằng góc zOy. Chứng minh Oz là tia phân giác.
Lời giải: Vì Oz nằm trong góc xOy và tạo hai góc bằng nhau, theo định nghĩa, Oz là tia phân giác góc xOy.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi AD là đường trung tuyến, D nằm trên BC. Chứng minh AD là phân giác góc A.
Lời giải: Xét tam giác ABD và ACD. Ta có AB = AC, BD = DC và AD chung.
Vậy hai tam giác ABD và ACD bằng nhau theo cạnh cạnh cạnh. Suy ra góc BAD bằng góc DAC.
Do đó, AD là tia phân giác của góc BAC.
Ví dụ 3: Điểm M nằm trong góc xOy. MA vuông góc Ox, MB vuông góc Oy và MA = MB. Chứng minh OM là tia phân giác.
Lời giải: Vì M cách đều hai cạnh Ox và Oy của góc xOy, nên M nằm trên tia phân giác của góc đó.
Suy ra OM là tia phân giác của góc xOy.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho góc AOB. Tia OC nằm trong góc và góc AOC bằng 35 độ, góc COB bằng 35 độ. Chứng minh OC là tia phân giác.
Gợi ý: Dùng định nghĩa tia phân giác.
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. D là trung điểm của BC. Chứng minh AD là phân giác góc A.
Gợi ý: Chứng minh hai tam giác ABD và ACD bằng nhau.
Bài 3: Trong góc xOy, điểm M cách đều hai cạnh Ox và Oy. Chứng minh OM là tia phân giác.
Gợi ý: Dùng tính chất điểm cách đều hai cạnh của một góc.
Bài 4: Cho tam giác ABC, D thuộc BC, AB/AC = DB/DC. Chứng minh AD là phân giác góc A.
Gợi ý: Dùng định lý đảo của tia phân giác trong tam giác.
Lỗi sai thường gặp khi chứng minh tia phân giác
Lỗi đầu tiên là kết luận quá sớm dựa vào hình vẽ. Hình vẽ có thể không đúng tỉ lệ.
Lỗi thứ hai là chứng minh nhầm hai góc. Cần xác định đúng góc lớn và hai góc nhỏ.
Lỗi khác là dùng định lý tia phân giác khi chưa có điều kiện điểm nằm trên cạnh đối diện. Hãy kiểm tra giả thiết trước.
Trước khi viết lời giải, hãy khoanh góc cần phân giác. Sau đó, chọn một dấu hiệu phù hợp nhất.
Câu hỏi thường gặp
Tia phân giác là gì?
Tia phân giác là tia nằm trong góc và chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
Cách chứng minh tia phân giác nhanh nhất là gì?
Cách nhanh nhất là chứng minh hai góc hai bên của tia đó bằng nhau.
Có thể chứng minh tia phân giác bằng khoảng cách không?
Có. Nếu một điểm trên tia cách đều hai cạnh của góc, tia đó là tia phân giác.
Định lý tia phân giác trong tam giác dùng để làm gì?
Định lý dùng để liên hệ tỉ số hai cạnh kề với tỉ số hai đoạn trên cạnh đối diện.
Tia phân giác có khác đường phân giác không?
Có. Tia phân giác bắt đầu từ đỉnh góc, còn đường phân giác thường xét như một đường thẳng.
Kết luận
Chứng minh tia phân giác không khó nếu bạn chọn đúng dấu hiệu. Cách cơ bản nhất là chứng minh hai góc bằng nhau.
Khi bài có tam giác bằng nhau, khoảng cách hoặc tỉ số cạnh, hãy dùng phương pháp tương ứng. Cách làm này giúp lời giải ngắn hơn.
Hãy luyện từ bài định nghĩa đến bài dùng định lý đảo. Sau vài dạng quen thuộc, bạn sẽ xử lý phần này chắc hơn nhé.
