Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn là dạng bài quen thuộc trong hình học phẳng. Bản chất của dạng này là chứng minh bốn điểm đồng viên, hoặc chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Điểm chính
- Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn thường là chứng minh tứ giác nội tiếp.
- Dấu hiệu hay dùng nhất là hai góc đối của tứ giác có tổng 180 độ.
- Có thể chứng minh hai điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc bằng nhau.
- Nếu bốn điểm cùng cách đều một điểm, chúng cùng thuộc một đường tròn.
4 điểm cùng thuộc một đường tròn là gì?
Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn nghĩa là tồn tại một đường tròn đi qua cả bốn điểm đó.
Khi nối bốn điểm lại, ta thường được một tứ giác nội tiếp. Vì vậy, bài toán hay chuyển về chứng minh tứ giác nội tiếp.
Trong chương trình hình học lớp 9, đây là dạng quan trọng. Nó liên quan nhiều đến góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn còn được gọi là bốn điểm đồng viên. Từ này rất hay xuất hiện trong lời giải hình học.
Dấu hiệu chứng minh 4 điểm đồng viên
Có nhiều dấu hiệu để chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn. Mỗi dấu hiệu phù hợp với một kiểu dữ kiện.
Dấu hiệu phổ biến nhất là chứng minh tứ giác có hai góc đối bù nhau. Nghĩa là tổng hai góc đối bằng 180 độ.
| Dấu hiệu | Cần chứng minh | Khi nên dùng |
|---|---|---|
| Hai góc đối bù nhau | Góc A + góc C = 180 độ | Khi có góc kề bù hoặc góc ngoài |
| Hai góc cùng nhìn một cạnh | Góc ACB = góc ADB | Khi có hai góc chắn cùng đoạn |
| Cùng cách đều một điểm | OA = OB = OC = OD | Khi xác định được tâm |
| Một góc vuông cùng chắn đoạn | Góc ACB = góc ADB = 90 độ | Khi có đường kính hoặc vuông góc |
Cách 1: Dùng hai góc đối bù nhau
Đây là phương pháp phổ biến nhất. Nếu một tứ giác có hai góc đối bù nhau, tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
Giả sử cần chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Ta có thể chứng minh góc A cộng góc C bằng 180 độ.
Hoặc ta chứng minh góc B cộng góc D bằng 180 độ. Khi đó, kết luận tứ giác ABCD nội tiếp.
Khi bài có góc ngoài, góc kề bù hoặc hai đường thẳng cắt nhau, hãy thử hướng hai góc đối bù nhau.
Cách 2: Dùng hai góc cùng nhìn một đoạn thẳng
Nếu hai điểm C và D cùng nhìn đoạn AB dưới hai góc bằng nhau, thì A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Cụ thể, nếu góc ACB bằng góc ADB, ta có thể kết luận bốn điểm A, B, C, D đồng viên.
Phương pháp này rất mạnh khi bài có các góc bằng nhau do song song, phân giác hoặc tam giác cân.
Cần chắc rằng hai góc cùng chắn một đoạn thẳng. Nếu chọn sai đoạn chắn, kết luận đồng viên sẽ sai.
Cách 3: Dùng góc vuông và đường kính
Nếu một điểm M nhìn đoạn AB dưới góc vuông, thì M nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vì vậy, nếu hai điểm C và D đều thỏa mãn góc ACB = góc ADB = 90 độ, thì A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Cách này thường gặp trong bài có đường cao, tiếp tuyến, hình chữ nhật hoặc tam giác vuông.
Ví dụ nhanh: Nếu AC vuông góc BC và AD vuông góc BD, thì C và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Cách 4: Dùng cùng cách đều một điểm
Một đường tròn là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định. Điểm cố định đó là tâm đường tròn.
Do đó, nếu chứng minh OA = OB = OC = OD, ta kết luận A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm O.
Phương pháp này phù hợp khi đề cho trung điểm, đường trung trực hoặc các tam giác vuông có chung cạnh huyền.
| Dữ kiện thường gặp | Hướng xử lý | Kết luận |
|---|---|---|
| O là trung điểm cạnh huyền | Dùng tính chất tam giác vuông | Các đỉnh cách đều O |
| O nằm trên trung trực | Suy ra hai khoảng cách bằng nhau | Có thể xác định tâm |
| Các bán kính bằng nhau | Chứng minh cùng tâm | Các điểm đồng viên |
Quy trình giải bài chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn
Trước hết, hãy xác định bốn điểm cần chứng minh đồng viên. Sau đó, nối chúng thành một tứ giác nếu có thể.
Tiếp theo, xem đề bài đang cho dữ kiện góc, vuông góc, khoảng cách hay trung điểm. Mỗi loại dữ kiện gợi ý một phương pháp.
- Nếu có tổng góc: Dùng dấu hiệu hai góc đối bù nhau.
- Nếu có góc bằng nhau: Dùng dấu hiệu hai góc cùng nhìn một đoạn.
- Nếu có góc vuông: Nghĩ đến đường tròn đường kính.
- Nếu có khoảng cách bằng nhau: Tìm tâm và bán kính chung.
Theo kinh nghiệm, hãy thử dấu hiệu góc trước. Phần lớn bài hình học phẳng lớp 9 giải nhanh bằng hướng này.
Ví dụ chứng minh 4 điểm cùng thuộc đường tròn
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD có góc A + góc C = 180 độ. Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải: Vì tứ giác ABCD có hai góc đối bù nhau, nên ABCD là tứ giác nội tiếp.
Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Ví dụ 2: Cho hai điểm C và D nằm cùng phía với AB. Biết góc ACB = góc ADB. Chứng minh A, B, C, D đồng viên.
Lời giải: Hai góc ACB và ADB cùng nhìn đoạn AB dưới hai góc bằng nhau.
Suy ra A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Ví dụ 3: Cho góc ACB = 90 độ và góc ADB = 90 độ. Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải: Vì C và D cùng nhìn đoạn AB dưới góc vuông, nên C và D thuộc đường tròn đường kính AB.
Vậy A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tứ giác ABCD có góc B + góc D = 180 độ. Chứng minh ABCD nội tiếp.
Gợi ý: Dùng dấu hiệu hai góc đối bù nhau.
Bài 2: Cho góc ACB = góc ADB. Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Gợi ý: Dùng dấu hiệu hai góc cùng nhìn đoạn AB.
Bài 3: Cho AC vuông góc BC và AD vuông góc BD. Chứng minh A, B, C, D đồng viên.
Gợi ý: Dùng đường tròn đường kính AB.
Bài 4: Cho điểm O sao cho OA = OB = OC = OD. Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Gợi ý: Dùng định nghĩa đường tròn tâm O.
Lỗi sai thường gặp khi chứng minh đồng viên
Lỗi đầu tiên là kết luận đồng viên chỉ dựa vào hình vẽ. Hình vẽ không thay được chứng minh.
Lỗi thứ hai là dùng góc bằng nhau nhưng không cùng chắn một đoạn thẳng. Khi đó, dấu hiệu không hợp lệ.
Lỗi khác là nhầm tứ giác nội tiếp với tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai tính chất này khác nhau.
Trước khi viết lời giải, hãy ghi rõ định dùng dấu hiệu nào. Cách này giúp bài chứng minh mạch lạc hơn.
Câu hỏi thường gặp
4 điểm cùng thuộc một đường tròn gọi là gì?
Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn thường được gọi là bốn điểm đồng viên.
Cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn nhanh nhất là gì?
Cách nhanh nhất thường là chứng minh một tứ giác có hai góc đối bù nhau.
Tứ giác nội tiếp là gì?
Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.
Hai góc cùng nhìn một đoạn thẳng dùng thế nào?
Nếu hai điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới hai góc bằng nhau, bốn điểm liên quan thường đồng viên.
Có thể dùng khoảng cách để chứng minh đồng viên không?
Có. Nếu bốn điểm cùng cách đều một điểm, chúng cùng thuộc đường tròn tâm điểm đó.
Kết luận
Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn thường quy về chứng minh tứ giác nội tiếp. Dấu hiệu nên nhớ nhất là hai góc đối bù nhau.
Ngoài ra, bạn có thể dùng hai góc cùng nhìn một đoạn thẳng, góc vuông chắn đường kính hoặc cùng cách đều một điểm.
Khi làm bài, hãy chọn dấu hiệu theo dữ kiện có sẵn. Cách này giúp lời giải ngắn, rõ và ít sai hơn.
