Độ dài cung tròn là độ dài của một phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm. Khi biết bán kính và góc ở tâm, bạn có thể tính nhanh độ dài cung bằng công thức theo độ hoặc radian.
Điểm chính
- Độ dài cung tròn là độ dài phần đường cong nằm trên đường tròn.
- Nếu góc ở tâm tính bằng độ, dùng công thức l = πRn/180.
- Nếu góc ở tâm tính bằng radian, dùng công thức l = Rθ.
- Cung càng lớn hoặc bán kính càng lớn thì độ dài cung càng tăng.
Độ dài cung tròn là gì?
Độ dài cung tròn là độ dài phần đường cong nằm trên đường tròn. Phần này được giới hạn bởi hai điểm trên đường tròn.
Nếu đi dọc theo mép đường tròn từ điểm A đến điểm B, quãng đường đi được chính là độ dài cung AB.
Cung tròn có thể ngắn hoặc dài. Điều này phụ thuộc vào số đo góc ở tâm chắn cung đó.
Cung tròn là một phần của đường tròn. Vì vậy, độ dài cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng chu vi đường tròn.
Công thức độ dài cung tròn theo độ
Khi góc ở tâm có số đo n độ, độ dài cung tròn được tính bằng công thức l = πRn/180.
Trong đó, l là độ dài cung. R là bán kính đường tròn. n là số đo góc ở tâm tính bằng độ.
Công thức này xuất phát từ chu vi đường tròn C = 2πR. Cung n độ chiếm n/360 của cả đường tròn.
| Ký hiệu | Ý nghĩa | Đơn vị |
|---|---|---|
| l | Độ dài cung tròn | cm, m |
| R | Bán kính đường tròn | cm, m |
| n | Số đo góc ở tâm | Độ |
| π | Hằng số pi | Không có |
Công thức độ dài cung tròn theo radian
Nếu góc ở tâm được tính bằng radian, công thức ngắn hơn là l = Rθ.
Trong đó, θ là số đo góc ở tâm tính bằng radian. R vẫn là bán kính đường tròn.
Ví dụ, nếu R = 6 cm và θ = 2 radian, ta có l = 6 x 2 = 12 cm.
Nếu đề cho độ, dùng l = πRn/180. Nếu đề cho radian, dùng l = Rθ.
Cách tính độ dài cung tròn từng bước
Trước hết, hãy xác định đơn vị của góc ở tâm. Đây là bước dễ gây nhầm nhất.
Sau đó, chọn công thức phù hợp. Cuối cùng, thay số và rút gọn kết quả.
- Bước 1: Xác định bán kính R của đường tròn.
- Bước 2: Xác định góc ở tâm tính bằng độ hay radian.
- Bước 3: Chọn đúng công thức độ dài cung tròn.
- Bước 4: Thay số, tính toán và ghi đơn vị độ dài.
Đừng dùng công thức theo độ cho góc radian. Hai cách đo góc có công thức khác nhau.
Ví dụ tính độ dài cung tròn có lời giải
Ví dụ 1: Đường tròn có bán kính 10 cm. Tính độ dài cung 60 độ.
Lời giải: l = πRn/180 = π x 10 x 60/180 = 10π/3 cm.
Ví dụ 2: Đường tròn có bán kính 8 m. Tính độ dài cung 90 độ.
Lời giải: l = π x 8 x 90/180 = 4π m.
Ví dụ 3: Đường tròn có bán kính 5 cm. Góc ở tâm bằng 2 radian. Tính độ dài cung.
Lời giải: l = Rθ = 5 x 2 = 10 cm.
Ví dụ 4: Một cung tròn có l = 6π cm và R = 12 cm. Tính số đo góc ở tâm theo độ.
Lời giải: n = 180l/(πR) = 180 x 6π/(π x 12) = 90 độ.
Liên hệ với chu vi đường tròn
Độ dài cung tròn là một phần của chu vi đường tròn. Cả đường tròn có chu vi C = 2πR.
Nếu cung ứng với góc 360 độ, độ dài cung bằng toàn bộ chu vi. Khi đó, l = 2πR.
Nếu cung ứng với góc 180 độ, độ dài cung bằng nửa chu vi. Khi đó, l = πR.
| Góc ở tâm | Phần đường tròn | Độ dài cung |
|---|---|---|
| 90 độ | Một phần tư đường tròn | πR/2 |
| 180 độ | Nửa đường tròn | πR |
| 270 độ | Ba phần tư đường tròn | 3πR/2 |
| 360 độ | Cả đường tròn | 2πR |
Ứng dụng của độ dài cung tròn
Độ dài cung tròn xuất hiện nhiều trong bài toán hình học lớp 9. Thực tế là công thức này cũng dùng trong đo đạc.
- Tính đường cong: Dùng để tính chiều dài mép cong trong hình tròn.
- Tính quãng đường: Vật chuyển động trên cung tròn có thể dùng công thức này.
- Giải bài quạt tròn: Độ dài cung là phần biên cong của hình quạt.
- Liên hệ diện tích: Dùng cùng công thức diện tích hình quạt tròn.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Đường tròn có R = 6 cm. Tính độ dài cung 60 độ.
Lời giải: l = π x 6 x 60/180 = 2π cm.
Bài 2: Đường tròn có R = 9 m. Tính độ dài cung 120 độ.
Lời giải: l = π x 9 x 120/180 = 6π m.
Bài 3: Đường tròn có R = 4 cm. Góc ở tâm bằng 3 radian. Tính độ dài cung.
Lời giải: l = Rθ = 4 x 3 = 12 cm.
Bài 4: Một cung có độ dài 5π cm trong đường tròn bán kính 10 cm. Tính góc ở tâm theo độ.
Lời giải: n = 180l/(πR) = 180 x 5π/(10π) = 90 độ.
Lỗi sai thường gặp khi tính độ dài cung tròn
Lỗi đầu tiên là nhầm bán kính với đường kính. Nếu đề cho đường kính, hãy chia 2 để tìm bán kính.
Lỗi thứ hai là nhầm độ với radian. Công thức theo độ có 180 ở mẫu, còn công thức radian thì không.
Lỗi khác là ghi sai đơn vị. Độ dài cung dùng đơn vị độ dài, không dùng đơn vị vuông.
Trước khi tính, hãy khoanh dữ kiện R và góc ở tâm. Sau đó, kiểm tra góc đang dùng độ hay radian.
Câu hỏi thường gặp
Độ dài cung tròn là gì?
Độ dài cung tròn là độ dài phần đường cong nằm giữa hai điểm trên đường tròn.
Công thức độ dài cung tròn theo độ là gì?
Công thức là l = πRn/180, với R là bán kính và n là số đo góc ở tâm.
Công thức độ dài cung tròn theo radian là gì?
Công thức là l = Rθ, với θ là số đo góc ở tâm tính bằng radian.
Nửa đường tròn có độ dài cung bằng bao nhiêu?
Nửa đường tròn có độ dài cung bằng πR.
Muốn tìm góc ở tâm khi biết độ dài cung thì làm thế nào?
Nếu dùng độ, lấy n = 180l/(πR). Nếu dùng radian, lấy θ = l/R.
Kết luận
Độ dài cung tròn được tính dựa trên bán kính và góc ở tâm. Nếu góc tính bằng độ, dùng l = πRn/180. Nếu góc tính bằng radian, dùng l = Rθ.
Khi làm bài, hãy kiểm tra đề cho bán kính hay đường kính. Sau đó, chọn đúng công thức theo đơn vị góc.
Nếu nắm mối liên hệ với chu vi đường tròn, bạn sẽ tính cung tròn nhanh và ít nhầm hơn.
