sinx + cosx là biểu thức lượng giác xuất hiện nhiều trong chương trình Toán phổ thông. Biểu thức này giúp học sinh rèn kỹ năng biến đổi lượng giác, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất và giải phương trình.
Điểm chính
- sinx + cosx có thể đưa về một hàm sin hoặc cos duy nhất.
- Dạng thường dùng là sinx + cosx = √2sin(x + 45°).
- Biểu thức có giá trị lớn nhất là √2.
- Biểu thức có giá trị nhỏ nhất là -√2.
sinx + cosx là gì
sinx + cosx là tổng của hai hàm lượng giác cơ bản. Trong đó, sinx là sin của góc x, còn cosx là cos của góc x.
Biểu thức này thường xuất hiện trong bài toán rút gọn, chứng minh, giải phương trình và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất.
Biến đổi cơ bản của sinx + cosx
Công thức quan trọng nhất là:
sinx + cosx = √2sin(x + 45°)
Nếu dùng radian, công thức được viết là:
sinx + cosx = √2sin(x + π/4)
Công thức này giúp đưa tổng hai hàm lượng giác về một hàm sin duy nhất.
Chứng minh công thức sinx + cosx
Ta dùng công thức cộng của sin:
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
Với b = 45°, ta có:
sin(x + 45°) = sinx.cos45° + cosx.sin45°
Vì sin45° = cos45° = √2/2, nên:
sin(x + 45°) = (√2/2)sinx + (√2/2)cosx
Suy ra:
√2sin(x + 45°) = sinx + cosx
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Vì -1 ≤ sin(x + 45°) ≤ 1 nên:
-√2 ≤ sinx + cosx ≤ √2
Do đó, giá trị lớn nhất của sinx + cosx là √2.
Giá trị nhỏ nhất của sinx + cosx là -√2.
Khi nào sinx + cosx đạt giá trị lớn nhất
sinx + cosx đạt giá trị lớn nhất khi sin(x + 45°) = 1.
Khi đó:
x + 45° = 90° + 360°k
Suy ra:
x = 45° + 360°k
Với k là số nguyên.
Khi nào sinx + cosx đạt giá trị nhỏ nhất
sinx + cosx đạt giá trị nhỏ nhất khi sin(x + 45°) = -1.
Khi đó:
x + 45° = 270° + 360°k
Suy ra:
x = 225° + 360°k
Với k là số nguyên.
Ứng dụng của sinx + cosx
Biểu thức sinx + cosx có nhiều ứng dụng trong toán học và lượng giác.
- Rút gọn biểu thức: Đưa tổng sin và cos về một hàm lượng giác duy nhất.
- Giải phương trình: Chuyển phương trình về dạng sin cơ bản.
- Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất: Dựa vào miền giá trị của hàm sin.
- Khảo sát hàm số: Xác định biên độ và chu kỳ của hàm lượng giác.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = sinx + cosx.
Ta có:
A = √2sin(x + 45°)
Vì sin(x + 45°) ≤ 1 nên A ≤ √2.
Vậy giá trị lớn nhất của A là √2.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải phương trình sinx + cosx = 1.
Ta có:
√2sin(x + 45°) = 1
Suy ra:
sin(x + 45°) = √2/2
Do đó:
x + 45° = 45° + 360°k hoặc x + 45° = 135° + 360°k
Suy ra:
x = 360°k hoặc x = 90° + 360°k.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm sinx + cosx với sin(x + x).
- Quên nhân hệ số √2 khi biến đổi.
- Dùng sai đơn vị độ và radian.
- Kết luận thiếu nghiệm tổng quát khi giải phương trình.
Kết luận
sinx + cosx là biểu thức lượng giác quan trọng. Công thức biến đổi về √2sin(x + 45°) giúp giải nhanh nhiều bài toán về rút gọn, phương trình và giá trị lớn nhất nhỏ nhất.
