Tổng hợp toàn bộ kiến thức và công thức Toán 12 theo chương trình GDPT 2018 (sách mới 2025-2026): từ ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số, vector trong không gian, hàm mũ - logarit, nguyên hàm - tích phân, số phức, tổ hợp - xác suất đến phương pháp toạ độ trong không gian. Bài viết này biên soạn để bạn có một sườn ôn thi gọn — bám sát cấu trúc đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT 2026 và tổng kết lại các công thức quan trọng nhất theo từng dạng bài.
Điểm chính cần nhớ
- Khảo sát hàm số: 4 dạng đồ thị chính (bậc 3, trùng phương, phân thức bậc nhất/bậc nhất, phân thức bậc hai/bậc nhất); luôn dùng đạo hàm để tìm cực trị.
- Vector trong không gian: tích vô hướng a⃗·b⃗ = |a⃗|·|b⃗|·cos α; tích có hướng [a⃗, b⃗] vuông góc cả 2 vector ban đầu, độ lớn = diện tích hình bình hành.
- Tích phân: ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ -1); diện tích S = ∫|f(x)|dx; thể tích V = π∫f(x)²dx.
- Số phức: z = a + bi; |z|² = a² + b²; phương trình bậc 2 có nghiệm phức khi Δ < 0: x = (-b ± i√|Δ|)/(2a).
- Toạ độ không gian: phương trình mặt phẳng ax + by + cz + d = 0; phương trình đường thẳng dạng tham số/chính tắc; khoảng cách điểm-mặt phẳng = |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²).
- Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A∩B)/P(B); công thức Bayes: P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B).
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1.1. Tính đơn điệu
Cho hàm số y = f(x) khả vi trên khoảng K:
- f'(x) > 0 trên K → hàm đồng biến trên K.
- f'(x) < 0 trên K → hàm nghịch biến trên K.
- f'(x) = 0 hữu hạn điểm → tại các điểm đó hàm vẫn đơn điệu, chỉ "phẳng".
1.2. Cực trị
Quy tắc xét cực trị bằng dấu đạo hàm:
- Tính f'(x), giải f'(x) = 0 tìm các nghiệm x₁, x₂, ...
- Lập bảng biến thiên với dấu f'(x) trên từng khoảng.
- f'(x) đổi từ + sang - tại x₀ → x₀ là điểm cực đại; ngược lại là cực tiểu.
Quy tắc đạo hàm bậc hai (khi f'(x₀) = 0 và f''(x₀) ≠ 0):
- f''(x₀) < 0 → x₀ là điểm cực đại.
- f''(x₀) > 0 → x₀ là điểm cực tiểu.
1.3. Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất (GTLN, GTNN)
Trên đoạn [a; b]:
- Tìm các điểm tới hạn (f'(x) = 0 hoặc f' không xác định) thuộc (a; b).
- Tính giá trị f tại các điểm tới hạn và 2 đầu mút a, b.
- So sánh để kết luận.
1.4. Đường tiệm cận
| Tiệm cận | Phương trình | Điều kiện |
|---|---|---|
| Tiệm cận đứng | x = -d/c | cx + d = 0 nhưng tử số ≠ 0 tại đó |
| Tiệm cận ngang | y = a/c | Bậc tử = bậc mẫu |
| Tiệm cận xiên | y = mx + n | Bậc tử = bậc mẫu + 1 |
1.5. Khảo sát và vẽ đồ thị
4 sơ đồ phổ biến trong đề thi:
- Hàm bậc 3 y = ax³ + bx² + cx + d: có 0 hoặc 2 cực trị; nếu Δ' = b² - 3ac > 0 thì có 2 cực trị.
- Hàm trùng phương y = ax⁴ + bx² + c: đối xứng qua trục Oy; có 1 cực trị (a, b cùng dấu) hoặc 3 cực trị (a, b trái dấu).
- Phân thức bậc nhất / bậc nhất: hyperbol; tâm đối xứng tại giao 2 tiệm cận.
- Phân thức bậc hai / bậc nhất: có thể có tiệm cận xiên + tiệm cận đứng.
Chương 2: Vector và hệ trục toạ độ trong không gian
2.1. Toạ độ vector
Trong hệ Oxyz, mỗi vector a⃗ ứng với 1 bộ ba (a₁; a₂; a₃). Cho a⃗ = (a₁; a₂; a₃), b⃗ = (b₁; b₂; b₃):
| Phép toán | Công thức |
|---|---|
| Cộng vector | a⃗ + b⃗ = (a₁+b₁; a₂+b₂; a₃+b₃) |
| Nhân vô hướng | k·a⃗ = (k·a₁; k·a₂; k·a₃) |
| Độ dài | |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²) |
| Tích vô hướng | a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ |
| Góc giữa 2 vector | cos α = (a⃗·b⃗) / (|a⃗|·|b⃗|) |
| Hai vector cùng phương | a₁/b₁ = a₂/b₂ = a₃/b₃ (tỷ lệ) |
| Vuông góc | a⃗·b⃗ = 0 |
2.2. Tích có hướng (tích vector)
Tích có hướng [a⃗, b⃗] = (a₂b₃ - a₃b₂; a₃b₁ - a₁b₃; a₁b₂ - a₂b₁).
- [a⃗, b⃗] vuông góc với cả a⃗ và b⃗.
- |[a⃗, b⃗]| = |a⃗|·|b⃗|·sin α = diện tích hình bình hành dựng bởi a⃗, b⃗.
- 3 vector đồng phẳng ⇔ định thức [a⃗, b⃗]·c⃗ = 0.
2.3. Toạ độ điểm
Cho A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B):
- Vector AB⃗ = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A).
- Khoảng cách AB = √((x_B-x_A)² + (y_B-y_A)² + (z_B-z_A)²).
- Trung điểm M của AB: x_M = (x_A+x_B)/2, tương tự y, z.
- Trọng tâm G của tam giác ABC: x_G = (x_A+x_B+x_C)/3.
Chương 3: Các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm với n nhóm, mỗi nhóm có:
- Khoảng [a_i; a_(i+1)).
- Tần số f_i (số liệu rơi vào nhóm).
- Giá trị đại diện x_i = (a_i + a_(i+1))/2.
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Trung bình cộng x̄ | (Σ f_i·x_i) / N với N = Σ f_i |
| Phương sai s² | (Σ f_i·x_i² - N·x̄²) / N |
| Độ lệch chuẩn s | √(s²) |
| Khoảng tứ phân vị | Q₃ - Q₁ |
| Mode (mốt) | L + h·(f_M - f_(M-1)) / [(f_M - f_(M-1)) + (f_M - f_(M+1))] |
Trong đó tại nhóm chứa mode: L = đầu mút trái nhóm, h = độ rộng nhóm, f_M = tần số nhóm, f_(M-1) và f_(M+1) là tần số nhóm liền trước/sau.
Chương 4: Nguyên hàm - Tích phân
4.1. Bảng nguyên hàm cơ bản
| Hàm số f(x) | Nguyên hàm F(x) |
|---|---|
| k (hằng số) | kx + C |
| x^n (n ≠ -1) | x^(n+1)/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| e^x | e^x + C |
| a^x (a > 0) | a^x / ln a + C |
| sin x | -cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tan x + C |
| 1/sin²x | -cot x + C |
4.2. Tích phân Riemann
Định nghĩa: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a), với F là một nguyên hàm bất kỳ.
Tính chất quan trọng:
- ∫ₐᵇ f(x) dx = -∫ᵦᵃ f(x) dx.
- ∫ₐᵇ k·f(x) dx = k·∫ₐᵇ f(x) dx.
- ∫ₐᵇ [f(x) + g(x)] dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx.
- ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx (a < c < b).
4.3. Phương pháp tính tích phân
- Đổi biến số: đặt t = u(x) → dt = u'(x)dx; thay đổi cận; ∫ₐᵇ f(u(x))·u'(x) dx = ∫_(u(a))^(u(b)) f(t) dt.
- Tích phân từng phần: ∫u dv = u·v - ∫v du. Quy tắc "ưu tiên đặt u theo LIATE": Logarit, Inverse, Algebraic, Trig, Exponential.
4.4. Ứng dụng tích phân
| Bài toán | Công thức |
|---|---|
| Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b | S = ∫ₐᵇ |f(x)| dx |
| Diện tích giữa y = f(x) và y = g(x) | S = ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)| dx |
| Thể tích vật thể tròn xoay quanh Ox | V = π·∫ₐᵇ f(x)² dx |
| Thể tích vật thể tròn xoay (giữa f và g, f > g > 0) | V = π·∫ₐᵇ [f(x)² - g(x)²] dx |
| Quãng đường vật chuyển động với v(t) | s = ∫ₜ₁ᵗ² v(t) dt |
Chương 5: Phương pháp toạ độ trong không gian
5.1. Phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến n⃗ = (a; b; c) và đi qua M(x₀; y₀; z₀):
a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0
Hay viết gọn: ax + by + cz + d = 0 với d = -(ax₀ + by₀ + cz₀).
5.2. Phương trình đường thẳng
Đường thẳng d đi qua M(x₀; y₀; z₀), có vector chỉ phương u⃗ = (a; b; c):
- Tham số: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct (t ∈ ℝ).
- Chính tắc (khi a, b, c ≠ 0): (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c.
5.3. Phương trình mặt cầu
Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².
5.4. Khoảng cách
| Khoảng cách | Công thức |
|---|---|
| Điểm M(x₀,y₀,z₀) đến mặt phẳng ax+by+cz+d=0 | |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²) |
| Điểm đến đường thẳng (qua A, chỉ phương u⃗) | |[AM⃗, u⃗]| / |u⃗| |
| 2 đường thẳng chéo nhau | |[u⃗₁, u⃗₂]·M₁M₂⃗| / |[u⃗₁, u⃗₂]| |
5.5. Vị trí tương đối
- 2 đường thẳng: so sánh u⃗₁ và u⃗₂; nếu cùng phương → song song hoặc trùng; nếu không cùng phương → cắt nhau hoặc chéo nhau (kiểm tra hệ phương trình giao điểm).
- Đường thẳng và mặt phẳng: u⃗·n⃗ = 0 → song song hoặc nằm trong; u⃗·n⃗ ≠ 0 → cắt nhau.
- 2 mặt phẳng: dựa trên vector pháp tuyến n⃗₁, n⃗₂.
Chương 6: Xác suất có điều kiện
6.1. Định nghĩa và công thức
Xác suất xảy ra biến cố A khi biết B đã xảy ra:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (P(B) > 0)
Quy tắc nhân: P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A).
6.2. Biến cố độc lập
A và B độc lập ⇔ P(A|B) = P(A) ⇔ P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
6.3. Công thức Bayes
P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)
Trong đó P(B) tính theo công thức xác suất toàn phần: P(B) = Σ P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ) khi {Aᵢ} là hệ đầy đủ biến cố xung khắc.
6.4. Ví dụ điển hình
Một hộp có 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên không hoàn lại. Tính xác suất viên thứ hai đỏ biết viên thứ nhất đỏ.
Giải: Sau khi lấy viên đỏ thứ nhất, hộp còn 5 đỏ + 4 xanh = 9 viên. P = 5/9.
Chương 7: Hàm số mũ - Logarit (chương trình bổ sung từ lớp 11)
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Logarit của tích | log_a(xy) = log_a x + log_a y |
| Logarit của thương | log_a(x/y) = log_a x - log_a y |
| Logarit của lũy thừa | log_a(x^n) = n · log_a x |
| Đổi cơ số | log_a x = log_b x / log_b a |
| Logarit cơ số e (ln) | ln x = log_e x |
| Đạo hàm | (log_a x)' = 1 / (x · ln a) |
| Đạo hàm hàm mũ | (a^x)' = a^x · ln a; (e^x)' = e^x |
Phương trình mũ - logarit cơ bản:
- a^(f(x)) = a^(g(x)) ⇔ f(x) = g(x) (a > 0, a ≠ 1).
- log_a f(x) = log_a g(x) ⇔ f(x) = g(x) > 0.
- Bất phương trình a^(f(x)) > a^(g(x)): nếu a > 1 thì f(x) > g(x); nếu 0 < a < 1 thì đảo chiều f(x) < g(x).
Mẹo ôn thi & cấu trúc đề tham khảo 2026
- Đề THPT 2026 dùng 3 dạng câu hỏi: 12 câu trắc nghiệm 4 đáp án, 4 câu trắc nghiệm đúng-sai, 6 câu trả lời ngắn. Phân bổ điểm 3 dạng tương ứng 3 điểm, 4 điểm, 3 điểm. Phải luyện riêng kỹ năng cho từng dạng.
- Câu trả lời ngắn (3 điểm) tập trung vào tính toán nhanh — chương Tích phân, Toạ độ không gian, Xác suất hay xuất hiện. Học cách bấm máy tính casio hiệu quả tiết kiệm 30s/câu.
- Trắc nghiệm đúng-sai mỗi câu có 4 mệnh đề độc lập — đúng cả 4 mới được tối đa, đúng 3 vẫn có điểm. Cẩn thận với mệnh đề "có ít nhất một..." — luôn xét trường hợp biên.
- Câu vận dụng cao thường ở chương Khảo sát hàm số (đường tiệm cận, cực trị tham số) hoặc Toạ độ không gian (phức hợp đường thẳng + mặt cầu). Đầu tư 4-5 buổi/tuần luyện riêng dạng này.
- Sử dụng máy tính casio: nắm phím TABLE để xét bảng giá trị nhanh; phím SOLVE giải phương trình; tính tích phân định lượng bằng nút ∫. Tiết kiệm 1-2 phút/đề.
- Luyện đề thi thử thực tế: 30 đề/tuần trong tháng cuối, mỗi đề 90 phút giống thi thật. Quan trọng hơn việc "học thêm công thức mới".
Câu hỏi thường gặp
Toán 12 chương trình mới có khác Toán 12 chương trình cũ (2006) ở những điểm nào?Chương trình 2018 thêm Xác suất có điều kiện (lớp 12), Thống kê mẫu ghép nhóm, và bỏ một số dạng cực trị tham số phức tạp. Cấu trúc đề thi cũng chuyển sang 3 dạng câu hỏi (trắc nghiệm 4 đáp án + đúng/sai + trả lời ngắn) thay vì 50 câu trắc nghiệm như trước.
Khi nào nên dùng tích phân từng phần và khi nào nên đổi biến số?Đổi biến khi tích phân có dạng f(u(x))·u'(x) — biểu thức bên trong f và đạo hàm của nó cùng xuất hiện. Tích phân từng phần khi có tích 2 hàm khác loại (đa thức × mũ, đa thức × log, ...) — đặt u theo quy tắc LIATE.
Có cần học thuộc toàn bộ bảng nguyên hàm không?10 dòng cơ bản trong Bảng 4 là tối thiểu — đề thi không cho tra. Sau đó luyện thêm các dạng "biến thể" như ∫ 1/(x²+a²) = (1/a)·arctan(x/a) + C, ∫ 1/√(a²-x²) = arcsin(x/a) + C — xuất hiện khoảng 1-2 lần trong 5 đề thi gần đây.
Phương pháp toạ độ không gian có cần học hình học cổ điển không?Có. Nhiều câu hỏi tự đặt mô hình: nhìn vào hình lập phương, hình chóp, hình lăng trụ → đặt hệ trục → giải bằng toạ độ. Hình học cổ điển vẫn cần để đặt hệ thuận lợi (đặt gốc ở đâu, trục nào).
Học sinh trung bình thì mục tiêu Toán 12 nên là bao nhiêu điểm?Mục tiêu thực tế: 6.0-7.0. Đạt được bằng cách học chắc 3 chương cơ bản (Khảo sát hàm số, Tích phân ứng dụng, Toạ độ không gian) — chiếm khoảng 6 điểm dễ. Đầu tư thêm Số phức + Xác suất nâng được lên 7+.
Có nên dùng app giải bài như Photomath để học không?Dùng để kiểm tra đáp án sau khi tự giải, không dùng để skip bước. Photomath đôi khi chọn cách giải dài dòng hoặc sai phương pháp với câu vận dụng cao. Quan trọng nhất là tự nghĩ lời giải trước khi tra.
