Góc giữa 2 vecto trong không gian là kiến thức quan trọng của hình học lớp 12. Dạng bài này thường dùng tích vô hướng để tính góc, chứng minh vuông góc và xử lý bài toán tọa độ trong không gian Oxyz.
Điểm chính
- Góc giữa 2 vecto là góc tạo bởi hai vecto khi đặt chung điểm đầu.
- Góc giữa 2 vecto luôn nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ.
- Công thức tính góc dựa vào tích vô hướng và độ dài vecto.
- Nếu tích vô hướng bằng 0 thì hai vecto vuông góc.
Góc giữa 2 vecto là gì
Góc giữa 2 vecto là góc tạo bởi hai vecto khi chúng được đặt chung điểm đầu.
Trong không gian hình học, hai vecto có thể nằm ở các vị trí khác nhau. Khi đó, ta tịnh tiến một hoặc cả hai vecto để chúng có cùng điểm đầu.
Góc giữa 2 vecto thường được ký hiệu là θ. Giá trị của θ thỏa mãn điều kiện: 0 độ ≤ θ ≤ 180 độ.
Công thức tính góc giữa 2 vecto trong không gian
Cho hai vecto a và b khác vecto không. Góc giữa hai vecto là θ.
Công thức tính góc giữa 2 vecto là:
cosθ = a.b / (|a|.|b|)
Suy ra:
θ = arccos(a.b / (|a|.|b|))
Trong đó, a.b là tích vô hướng của hai vecto. |a| và |b| là độ dài của từng vecto.
Công thức theo tọa độ trong không gian Oxyz
Giả sử a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2).
Tích vô hướng của hai vecto là:
a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Độ dài của từng vecto là:
|a| = √(x1² + y1² + z1²)
|b| = √(x2² + y2² + z2²)
Vì vậy, công thức tính góc giữa 2 vecto trong không gian là:
cosθ = (x1x2 + y1y2 + z1z2) / [√(x1² + y1² + z1²).√(x2² + y2² + z2²)]
Các bước tính góc giữa 2 vecto
Để tính góc giữa 2 vecto trong không gian, có thể làm theo các bước sau:
- Bước 1: Xác định tọa độ của hai vecto cần tính góc.
- Bước 2: Tính tích vô hướng a.b.
- Bước 3: Tính độ dài |a| và |b|.
- Bước 4: Thay vào công thức cosθ = a.b / (|a|.|b|).
- Bước 5: Dùng arccos để suy ra số đo góc θ.
Ví dụ minh họa
Cho hai vecto a = (1; 2; 2) và b = (2; 1; -2). Tính góc giữa hai vecto a và b.
Ta có:
a.b = 1.2 + 2.1 + 2.(-2) = 2 + 2 - 4 = 0
Độ dài của a là:
|a| = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3
Độ dài của b là:
|b| = √(2² + 1² + (-2)²) = √9 = 3
Suy ra:
cosθ = 0 / (3.3) = 0
Vậy θ = 90 độ. Hai vecto a và b vuông góc với nhau.
Các trường hợp đặc biệt cần nhớ
- Nếu a.b = 0 thì hai vecto vuông góc.
- Nếu cosθ = 1 thì hai vecto cùng hướng và θ = 0 độ.
- Nếu cosθ = -1 thì hai vecto ngược hướng và θ = 180 độ.
- Nếu a.b > 0 thì góc giữa hai vecto là góc nhọn.
- Nếu a.b < 0 thì góc giữa hai vecto là góc tù.
Lỗi sai thường gặp khi tính góc giữa 2 vecto
Nhiều học sinh nhầm dấu khi tính tích vô hướng. Đây là lỗi phổ biến nhất trong dạng bài này.
Một lỗi khác là quên căn bậc hai khi tính độ dài vecto. Nếu sai độ dài, kết quả góc sẽ sai theo.
Ngoài ra, cần nhớ rằng góc giữa 2 vecto không vượt quá 180 độ. Không dùng góc phản xạ trong bài toán này.
Ứng dụng của công thức tính góc giữa 2 vecto
Công thức này được dùng nhiều trong hình học không gian. Nó giúp tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hoặc góc giữa hai mặt phẳng.
Trong hệ tọa độ Oxyz, công thức còn giúp giải nhanh bài toán chứng minh vuông góc. Chỉ cần tích vô hướng bằng 0, ta có thể kết luận hai vecto vuông góc.
Câu hỏi thường gặp
Góc giữa 2 vecto có thể lớn hơn 180 độ không
Không. Góc giữa 2 vecto luôn nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ.
Khi nào hai vecto vuông góc
Hai vecto khác vecto không vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
Công thức tính góc giữa 2 vecto dùng khi nào
Công thức này dùng khi biết tọa độ hai vecto hoặc biết tích vô hướng và độ dài của chúng.
Có tính được góc với vecto không không
Không. Vecto không không có phương xác định nên không xác định được góc với vecto khác.
Kết luận
Góc giữa 2 vecto trong không gian được tính chủ yếu bằng tích vô hướng. Khi nắm chắc công thức cosθ = a.b / (|a|.|b|), bạn có thể giải nhanh nhiều bài toán hình học Oxyz.
