Đường phân giác trong tam giác là kiến thức hình học quan trọng. Nội dung này giúp học sinh tính độ dài, chứng minh tỉ lệ và xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Điểm chính
- Đường phân giác chia một góc thành hai góc bằng nhau.
- Trong tam giác, đường phân giác chia cạnh đối diện theo tỉ lệ hai cạnh kề.
- Ba đường phân giác trong luôn cắt nhau tại một điểm.
- Tính chất đường phân giác thường dùng để tính đoạn thẳng và chứng minh tỉ lệ.
Đường phân giác là gì
Đường phân giác của một góc là tia nằm trong góc đó và chia góc thành hai góc bằng nhau.
Trong tam giác, đường phân giác xuất phát từ một đỉnh và cắt cạnh đối diện.
Ví dụ, trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác của góc A thì D nằm trên BC và góc BAD bằng góc DAC.
Tính chất đường phân giác trong tam giác
Xét tam giác ABC. Gọi AD là đường phân giác của góc A, với D nằm trên cạnh BC.
Khi đó, ta có:
BD / DC = AB / AC
Công thức này có nghĩa là đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của góc được chia.
Cách nhớ công thức đường phân giác
Hãy nhớ rằng đoạn gần cạnh nào thì đi cùng cạnh đó.
Trong tam giác ABC, điểm D nằm trên BC. Đoạn BD nằm gần cạnh AB, còn đoạn DC nằm gần cạnh AC.
Vì vậy, ta có tỉ lệ:
BD / DC = AB / AC
Ba đường phân giác trong tam giác
Ba đường phân giác trong của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm.
Điểm đồng quy này cách đều ba cạnh của tam giác.
Do đó, điểm này là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Ứng dụng trong giải toán hình học
Tính chất đường phân giác được dùng nhiều trong các bài toán hình học.
- Tính độ dài: Dùng tỉ lệ BD / DC = AB / AC để tìm đoạn chưa biết.
- Chứng minh tỉ lệ: Chỉ ra một đường là phân giác rồi suy ra tỉ lệ.
- Chứng minh góc bằng nhau: Dựa vào định nghĩa đường phân giác.
- Xác định tâm nội tiếp: Dùng giao điểm ba đường phân giác trong.
Ví dụ minh họa
Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm. Đường phân giác AD cắt BC tại D. Biết BC = 10 cm. Tính BD và DC.
Theo tính chất đường phân giác:
BD / DC = AB / AC = 6 / 9 = 2 / 3
Vì BC = 10 cm nên BD + DC = 10 cm.
Chia 10 cm theo tỉ lệ 2 : 3, ta được:
BD = 4 cm
DC = 6 cm
Bài tập ứng dụng
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 7 cm. Đường phân giác AD cắt BC tại D. Biết BC = 12 cm. Tính BD và DC.
Bài 2. Cho tam giác MNP có MN = 8 cm, MP = 12 cm. Đường phân giác MQ cắt NP tại Q. Biết NQ = 6 cm. Tính QP.
Bài 3. Trong tam giác ABC, AD là đường phân giác. Biết BD / DC = 3 / 4 và AB = 9 cm. Tính AC.
Đáp án bài tập
Bài 1. BD / DC = 5 / 7. Vì BC = 12 cm nên BD = 5 cm và DC = 7 cm.
Bài 2. NQ / QP = MN / MP = 8 / 12 = 2 / 3. Vì NQ = 6 cm nên QP = 9 cm.
Bài 3. BD / DC = AB / AC nên 3 / 4 = 9 / AC. Suy ra AC = 12 cm.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm đường phân giác với đường trung tuyến.
- Nhầm tỉ lệ đoạn thẳng trên cạnh đối diện.
- Quên chứng minh một đường là phân giác trước khi dùng công thức.
- Không kiểm tra điểm chia nằm trong hay ngoài đoạn thẳng.
Kết luận
Đường phân giác trong tam giác giúp chia góc và tạo tỉ lệ giữa các đoạn thẳng. Khi nắm chắc tính chất này, học sinh có thể giải nhanh nhiều bài toán hình học về tam giác.
