Đường kính và dây cung là hai khái niệm quan trọng trong hình tròn. Khi nắm chắc mối quan hệ giữa chúng, bạn có thể giải nhanh nhiều bài toán về độ dài, vuông góc, trung điểm và chứng minh hình học.
Điểm chính
- Đường kính là dây cung đi qua tâm của hình tròn.
- Đường kính là dây cung dài nhất trong một hình tròn.
- Đường kính vuông góc với dây cung thì chia dây cung thành hai phần bằng nhau.
- Hai dây cung cách đều tâm thì có độ dài bằng nhau.
Đường kính là gì
Đường kính là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn và đi qua tâm.
Nếu hình tròn có tâm O, đoạn AB đi qua O và A, B nằm trên đường tròn thì AB là đường kính.
Độ dài đường kính bằng hai lần bán kính:
d = 2r
Trong đó, d là đường kính và r là bán kính của hình tròn.
Dây cung là gì
Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn.
Nếu A và B là hai điểm nằm trên đường tròn, đoạn AB được gọi là một dây cung.
Đường kính cũng là một dây cung. Tuy nhiên, đây là dây cung đặc biệt vì nó đi qua tâm.
Quan hệ giữa đường kính và dây cung
Đường kính là dây cung lớn nhất của hình tròn. Mọi dây cung khác đều có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng đường kính.
Nếu một dây cung đi qua tâm thì dây cung đó chính là đường kính.
Vì vậy, có thể xem đường kính là trường hợp đặc biệt của dây cung.
Tính chất 1 đường kính là dây cung lớn nhất
Trong cùng một hình tròn, đường kính có độ dài lớn nhất trong tất cả các dây cung.
Nếu bán kính của hình tròn là r, đường kính có độ dài 2r.
Mọi dây cung không đi qua tâm đều ngắn hơn 2r.
Ví dụ, hình tròn có bán kính 5 cm thì đường kính dài 10 cm. Không có dây cung nào trong hình tròn đó dài hơn 10 cm.
Tính chất 2 đường kính vuông góc với dây cung
Nếu đường kính vuông góc với một dây cung thì đường kính đó đi qua trung điểm của dây cung.
Giả sử AB là dây cung của đường tròn tâm O. Nếu đường kính CD vuông góc với AB tại H thì:
HA = HB
Tính chất này thường dùng để chứng minh một điểm là trung điểm của dây cung.
Tính chất 3 đường kính đi qua trung điểm dây cung
Nếu đường kính đi qua trung điểm của một dây cung không phải đường kính, thì đường kính đó vuông góc với dây cung ấy.
Giả sử H là trung điểm của dây cung AB và O là tâm đường tròn. Khi đó đường thẳng OH vuông góc với AB.
Nói cách khác, đường nối tâm với trung điểm của dây cung luôn vuông góc với dây cung.
Tính chất 4 dây cung và khoảng cách đến tâm
Trong cùng một hình tròn, hai dây cung bằng nhau thì cách đều tâm.
Ngược lại, hai dây cung cách đều tâm thì có độ dài bằng nhau.
Dây cung càng gần tâm thì càng dài. Dây cung càng xa tâm thì càng ngắn.
Đường kính đi qua tâm nên nó có khoảng cách đến tâm bằng 0. Vì vậy, đường kính là dây cung dài nhất.
Công thức tính độ dài dây cung
Nếu biết bán kính r và khoảng cách từ tâm đến dây cung là h, độ dài dây cung được tính bằng:
AB = 2√(r² - h²)
Trong đó:
- AB là độ dài dây cung.
- r là bán kính hình tròn.
- h là khoảng cách từ tâm đến dây cung.
Công thức này xuất phát từ định lý Pytago trong tam giác vuông.
Ví dụ 1 tính độ dài dây cung
Cho đường tròn tâm O có bán kính 5 cm. Dây cung AB cách tâm O một khoảng 3 cm. Tính độ dài AB.
Áp dụng công thức:
AB = 2√(r² - h²)
Thay số:
AB = 2√(5² - 3²) = 2√(25 - 9) = 2√16 = 8 cm
Vậy dây cung AB dài 8 cm.
Ví dụ 2 chứng minh trung điểm dây cung
Cho đường tròn tâm O, đường kính CD vuông góc với dây cung AB tại H. Chứng minh H là trung điểm của AB.
Vì CD là đường kính đi qua tâm O và CD vuông góc với AB tại H.
Theo tính chất đường kính vuông góc với dây cung, ta có:
HA = HB
Vậy H là trung điểm của dây cung AB.
Ứng dụng trong giải toán
Tính chất đường kính và dây cung được dùng nhiều trong hình học phẳng.
- Tính độ dài dây cung: Dùng bán kính và khoảng cách từ tâm đến dây.
- Chứng minh trung điểm: Dùng tính chất đường kính vuông góc với dây cung.
- Chứng minh vuông góc: Dùng đường nối tâm với trung điểm dây cung.
- So sánh dây cung: Dựa vào khoảng cách từ tâm đến từng dây.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm dây cung với cung tròn: Dây cung là đoạn thẳng, còn cung là phần đường cong.
- Quên điều kiện đi qua tâm: Không phải dây cung nào cũng là đường kính.
- Áp dụng sai tính chất vuông góc: Phải có đường kính hoặc đường thẳng đi qua tâm.
- Nhầm bán kính và đường kính: Đường kính bằng hai lần bán kính.
Mẹo học nhanh tính chất
Hãy nhớ câu ngắn: đường kính là dây cung lớn nhất và đi qua tâm.
Nếu đường từ tâm vuông góc với dây cung, nó sẽ chia dây cung thành hai phần bằng nhau.
Khi gặp bài toán có trung điểm dây cung, hãy nghĩ ngay đến đường vuông góc đi qua tâm.
Câu hỏi thường gặp
Đường kính có phải là dây cung không
Có. Đường kính là dây cung đặc biệt đi qua tâm của hình tròn.
Dây cung lớn nhất của hình tròn là gì
Dây cung lớn nhất của hình tròn là đường kính.
Khi nào đường kính chia đôi dây cung
Đường kính chia đôi dây cung khi nó vuông góc với dây cung đó.
Hai dây cung bằng nhau có đặc điểm gì
Hai dây cung bằng nhau thì cách đều tâm của hình tròn.
Dây cung càng gần tâm thì như thế nào
Dây cung càng gần tâm thì độ dài càng lớn.
Kết luận
Đường kính và dây cung có mối quan hệ chặt chẽ trong hình tròn. Đường kính là dây cung lớn nhất, còn đường đi qua tâm và vuông góc với dây cung sẽ chia dây cung thành hai phần bằng nhau. Khi nắm chắc các tính chất này, bạn có thể giải nhanh nhiều bài toán hình học về đường tròn.
