Định lý cosin là công thức quan trọng trong hình học tam giác. Định lý này giúp tính cạnh, tính góc và giải nhiều bài toán khi tam giác không phải tam giác vuông.
Điểm chính
- Định lý cosin liên hệ độ dài ba cạnh với cosin của một góc.
- Công thức dùng được trong mọi tam giác.
- Khi biết hai cạnh và góc xen giữa, có thể tính cạnh còn lại.
- Khi biết ba cạnh, có thể tính được góc của tam giác.
Định lý cosin là gì
Định lý cosin là hệ thức giữa các cạnh và góc trong một tam giác bất kỳ.
Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các góc A, B, C.
Khi đó, định lý cosin cho phép biểu diễn một cạnh theo hai cạnh còn lại và góc xen giữa.
Công thức định lý cosin
Trong tam giác ABC, ta có các công thức:
a² = b² + c² - 2bc.cosA
b² = a² + c² - 2ac.cosB
c² = a² + b² - 2ab.cosC
Trong đó, a là cạnh đối diện góc A. Tương tự, b đối diện góc B và c đối diện góc C.
Công thức tính góc bằng định lý cosin
Từ định lý cosin, ta có thể suy ra công thức tính cos của các góc.
cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)
cosB = (a² + c² - b²)/(2ac)
cosC = (a² + b² - c²)/(2ab)
Các công thức này thường dùng khi đề bài cho biết độ dài ba cạnh của tam giác.
Khi nào dùng định lý cosin
Học sinh nên dùng định lý cosin trong các trường hợp sau:
- Biết hai cạnh và góc xen giữa, cần tính cạnh còn lại.
- Biết ba cạnh, cần tính một góc của tam giác.
- Cần kiểm tra một tam giác là nhọn, vuông hay tù.
- Bài toán không đủ điều kiện dùng định lý sin trực tiếp.
Ví dụ tính cạnh bằng định lý cosin
Cho tam giác ABC có b = 5, c = 7 và góc A = 60°. Tính cạnh a.
Áp dụng công thức:
a² = b² + c² - 2bc.cosA
Thay số vào, ta có:
a² = 5² + 7² - 2.5.7.cos60°
a² = 25 + 49 - 70.1/2 = 39
Vậy a = √39.
Ví dụ tính góc bằng định lý cosin
Cho tam giác ABC có a = 7, b = 5 và c = 6. Tính góc A.
Ta dùng công thức:
cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)
Thay số vào:
cosA = (5² + 6² - 7²)/(2.5.6)
cosA = (25 + 36 - 49)/60 = 12/60 = 1/5
Vậy A = arccos(1/5).
Ứng dụng của định lý cosin
Định lý cosin được dùng nhiều trong các bài toán hình học và thực tế.
- Tính khoảng cách: dùng khi biết hai đoạn và góc xen giữa.
- Tính góc: dùng khi biết đủ ba cạnh của tam giác.
- Kiểm tra loại tam giác: dựa vào dấu của cos góc.
- Giải bài toán thực tiễn: đo khoảng cách gián tiếp trong xây dựng, bản đồ và vật lý.
Liên hệ giữa định lý cosin và định lý Pytago
Định lý cosin có thể xem là dạng mở rộng của định lý Pytago.
Nếu góc A = 90°, ta có cosA = 0.
Khi đó công thức trở thành:
a² = b² + c²
Đây chính là công thức Pytago trong tam giác vuông.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm cạnh đối diện với góc tương ứng.
- Quên dấu trừ trong công thức -2bc.cosA.
- Dùng sai góc xen giữa hai cạnh đã biết.
- Nhầm định lý cosin với định lý sin.
- Không kiểm tra đơn vị góc khi dùng máy tính.
Mẹo ghi nhớ định lý cosin
Muốn nhớ công thức, hãy chú ý cạnh cần tính luôn đứng một mình ở vế trái.
Hai cạnh còn lại được bình phương rồi cộng lại. Sau đó trừ đi hai lần tích hai cạnh ấy với cos của góc xen giữa.
Ví dụ, cần tính a thì dùng góc A và hai cạnh b, c.
Kết luận
Định lý cosin là công cụ hiệu quả để giải tam giác thường. Khi nắm chắc công thức và biết chọn đúng góc, học sinh có thể tính cạnh, tính góc và xử lý nhiều bài toán thực tế chính xác hơn.
