Tâm I và bán kính R của đường tròn là hai yếu tố quan trọng nhất để xác định một đường tròn trong hình học phẳng. Khi biết tâm và bán kính, ta có thể viết phương trình đường tròn, kiểm tra điểm thuộc đường tròn và giải nhiều bài toán tọa độ.
Tâm I và bán kính R của đường tròn là gì?
Đường tròn là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định. Điểm cố định đó gọi là tâm đường tròn, thường ký hiệu là I.
Khoảng cách từ tâm I đến một điểm bất kỳ trên đường tròn gọi là bán kính, thường ký hiệu là R.
Nếu A là một điểm nằm trên đường tròn tâm I, thì IA = R.
Công thức đường tròn dạng chuẩn
Nếu đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R, phương trình dạng chuẩn là:
(x - a)2 + (y - b)2 = R2
Từ dạng này, ta đọc ngay được:
- Tâm: I(a; b)
- Bán kính: R
Ví dụ với phương trình dạng chuẩn
Ví dụ: Cho đường tròn có phương trình:
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 25
Ta viết lại y + 3 = y - (-3), nên tâm là I(2; -3).
Vì R2 = 25, suy ra R = 5.
Công thức đường tròn dạng tổng quát
Phương trình tổng quát của đường tròn thường có dạng:
x2 + y2 + ax + by + c = 0
Khi đó, tâm và bán kính được tính theo công thức:
I(-a/2; -b/2)
R = √[(a2 + b2 - 4c)/4]
| Dạng phương trình | Tâm I | Bán kính R |
|---|---|---|
| (x - a)2 + (y - b)2 = R2 | I(a; b) | R |
| x2 + y2 + ax + by + c = 0 | I(-a/2; -b/2) | √[(a2 + b2 - 4c)/4] |
Điều kiện để phương trình là đường tròn
Với phương trình x2 + y2 + ax + by + c = 0, để biểu diễn một đường tròn thực, cần có:
a2 + b2 - 4c > 0
Nếu biểu thức này bằng 0, phương trình chỉ biểu diễn một điểm. Nếu nhỏ hơn 0, phương trình không biểu diễn đường tròn thực.
Cách tìm tâm và bán kính bằng hoàn thành bình phương
Ngoài việc dùng công thức nhanh, ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng chuẩn bằng cách hoàn thành bình phương.
- Bước 1: Nhóm các hạng tử chứa x và y.
- Bước 2: Hoàn thành bình phương cho từng nhóm.
- Bước 3: Đưa phương trình về dạng chuẩn.
- Bước 4: Đọc tâm I và bán kính R.
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn:
x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0
Ta có:
x2 - 4x + y2 + 6y = 12
Hoàn thành bình phương:
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 25
Vậy tâm là I(2; -3) và bán kính là R = 5.
Trường hợp biết tâm và một điểm thuộc đường tròn
Nếu biết tâm I(a; b) và một điểm A(x1; y1) thuộc đường tròn, bán kính được tính bằng khoảng cách IA:
R = IA = √[(x1 - a)2 + (y1 - b)2]
Ví dụ: Cho tâm I(1; 2), điểm A(4; 6) thuộc đường tròn. Khi đó:
R = √[(4 - 1)2 + (6 - 2)2] = √(9 + 16) = 5
Trường hợp đường tròn ngoại tiếp tam giác
Với đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác.
Bán kính ngoại tiếp là khoảng cách từ tâm đến mỗi đỉnh của tam giác:
R = IA = IB = IC
Nếu biết ba cạnh tam giác là a, b, c và diện tích là S, bán kính ngoại tiếp được tính bằng:
R = abc / 4S
Trường hợp đường tròn nội tiếp tam giác
Với đường tròn nội tiếp tam giác, tâm là giao điểm của ba đường phân giác trong.
Bán kính nội tiếp thường ký hiệu là r, được tính bằng:
r = S / p
Trong đó:
- S là diện tích tam giác.
- p là nửa chu vi tam giác.
Ví dụ tìm tâm I và bán kính R
Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn:
x2 + y2 - 6x + 8y - 11 = 0
Lời giải: Ta có a = -6, b = 8, c = -11.
Tâm: I(-a/2; -b/2) = I(3; -4).
Bán kính: R = √[(36 + 64 + 44)/4] = √36 = 6.
Ví dụ 2: Cho đường tròn có tâm I(-2; 5) và bán kính R = 4. Viết phương trình đường tròn.
Lời giải: Phương trình là:
(x + 2)2 + (y - 5)2 = 16
Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm I(0; 0) đi qua A(3; 4). Tính bán kính.
Lời giải: R = IA = √(32 + 42) = 5.
Bảng tổng hợp công thức cần nhớ
| Dạng bài | Công thức tâm | Công thức bán kính |
|---|---|---|
| Dạng chuẩn | I(a; b) | R |
| Dạng tổng quát | I(-a/2; -b/2) | √[(a2 + b2 - 4c)/4] |
| Biết tâm và một điểm | Cho sẵn | R = √[(x1 - a)2 + (y1 - b)2] |
| Đường tròn ngoại tiếp tam giác | Giao điểm trung trực | R = IA = IB = IC |
| Đường tròn nội tiếp tam giác | Giao điểm phân giác | r = S/p |
Lỗi thường gặp khi tìm tâm và bán kính
- Nhầm dấu khi lấy tâm từ phương trình tổng quát.
- Quên lấy căn khi tính bán kính.
- Nhầm bán kính R với bình phương bán kính R2.
- Không kiểm tra điều kiện để phương trình là đường tròn.
- Nhầm đường tròn nội tiếp với đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0.
Lời giải: a = -4, b = -2, c = -20. Tâm I(2; 1). Bán kính R = √[(16 + 4 + 80)/4] = 5.
Bài 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (x - 3)2 + (y + 1)2 = 49.
Lời giải: Tâm I(3; -1), bán kính R = 7.
Bài 3: Cho I(2; -1), A(5; 3). Tính bán kính đường tròn tâm I đi qua A.
Lời giải: R = IA = √[(5 - 2)2 + (3 + 1)2] = √(9 + 16) = 5.
Câu hỏi thường gặp
Tâm đường tròn là gì?
Tâm đường tròn là điểm cố định cách đều mọi điểm nằm trên đường tròn.
Bán kính đường tròn là gì?
Bán kính là khoảng cách từ tâm đến một điểm bất kỳ trên đường tròn.
Công thức tâm từ phương trình tổng quát là gì?
Với x2 + y2 + ax + by + c = 0, tâm là I(-a/2; -b/2).
Công thức bán kính từ phương trình tổng quát là gì?
Bán kính là R = √[(a2 + b2 - 4c)/4].
Khi nào phương trình tổng quát biểu diễn đường tròn?
Khi a2 + b2 - 4c lớn hơn 0.
Kết luận
Tâm I và bán kính R của đường tròn giúp xác định hoàn toàn một đường tròn trong hình học phẳng. Với dạng chuẩn, ta đọc trực tiếp tâm và bán kính. Với dạng tổng quát, dùng công thức I(-a/2; -b/2) và R = √[(a2 + b2 - 4c)/4].
Khi làm bài, hãy nhận dạng đúng phương trình, kiểm tra dấu hệ số và xác định rõ bài toán hỏi đường tròn nội tiếp hay ngoại tiếp để chọn công thức phù hợp.
