Độ dài vectơ là kiến thức quan trọng trong hình học tọa độ lớp 12. Nội dung này giúp học sinh tính khoảng cách, xử lý bài toán không gian và giải nhiều dạng bài liên quan đến vectơ.
Điểm chính
- Độ dài vectơ cho biết độ lớn của vectơ.
- Trong mặt phẳng, công thức dùng hai tọa độ x và y.
- Trong không gian, công thức dùng ba tọa độ x, y và z.
- Khi tính vectơ từ hai điểm, cần trừ tọa độ điểm cuối cho điểm đầu.
Độ dài vectơ là gì
Độ dài vectơ là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ. Đại lượng này còn được gọi là độ lớn của vectơ.
Độ dài vectơ luôn là một số không âm. Nếu vectơ bằng vectơ không, độ dài của nó bằng 0.
Ký hiệu độ dài vectơ
Nếu vectơ được ký hiệu là a, độ dài của vectơ a được viết là |a|.
Nếu vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B, độ dài của vectơ AB được viết là |AB|.
Trong bài toán hình học tọa độ, ký hiệu này giúp phân biệt vectơ với độ dài của vectơ.
Công thức tính độ dài vectơ trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng Oxy, nếu vectơ a = (x; y), ta có công thức:
|a| = √(x² + y²)
Ví dụ, với a = (3; 4), ta có:
|a| = √(3² + 4²) = √25 = 5
Công thức tính độ dài vectơ trong không gian
Trong không gian Oxyz, nếu vectơ a = (x; y; z), ta có công thức:
|a| = √(x² + y² + z²)
Ví dụ, với a = (1; 2; 2), ta có:
|a| = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3
Cách tính độ dài vectơ khi biết hai điểm
Cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). Khi đó vectơ AB có tọa độ:
AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
Độ dài vectơ AB là:
|AB| = √[(xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²]
Công thức này cũng chính là công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.
Ví dụ cơ bản
Cho A(1; 2; 3) và B(4; 6; 3). Tính độ dài vectơ AB.
Ta có:
AB = (4 - 1; 6 - 2; 3 - 3) = (3; 4; 0)
Suy ra:
|AB| = √(3² + 4² + 0²) = 5
Vậy độ dài vectơ AB bằng 5.
Ứng dụng của độ dài vectơ
Độ dài vectơ được sử dụng trong nhiều dạng bài hình học tọa độ lớp 12.
- Tính khoảng cách: dùng để tìm khoảng cách giữa hai điểm.
- Kiểm tra vectơ đơn vị: vectơ có độ dài bằng 1 là vectơ đơn vị.
- Tính tích vô hướng: độ dài vectơ xuất hiện trong công thức a.b = |a|.|b|.cosα.
- Giải bài toán không gian: dùng trong bài toán đường thẳng, mặt phẳng và hình học Oxyz.
Lỗi sai thường gặp
- Quên bình phương tọa độ âm trước khi cộng.
- Nhầm thứ tự khi tính tọa độ vectơ AB.
- Bỏ sót tọa độ z trong không gian Oxyz.
- Viết độ dài vectơ thành số âm.
- Nhầm độ dài vectơ với tọa độ vectơ.
Mẹo làm bài nhanh
Khi đề cho tọa độ vectơ, hãy thay trực tiếp vào công thức độ dài.
Khi đề cho hai điểm, hãy tính tọa độ vectơ trước. Sau đó mới tính độ dài.
Nếu có tọa độ âm, cần đặt trong ngoặc trước khi bình phương để tránh sai dấu.
Kết luận
Độ dài vectơ là kiến thức nền tảng trong hình học tọa độ lớp 12. Khi nắm chắc công thức trong mặt phẳng và không gian, học sinh có thể giải nhanh các bài toán khoảng cách, vectơ đơn vị và tích vô hướng.
