Hình lục giác đều là hình có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau. Trong hình học, việc chứng minh một lục giác là lục giác đều thường dựa vào độ dài cạnh, số đo góc, đường tròn ngoại tiếp hoặc các tam giác đều.
Điểm chính
- Hình lục giác đều có 6 cạnh bằng nhau.
- Mỗi góc trong của hình lục giác đều bằng 120 độ.
- Lục giác đều có thể chia thành 6 tam giác đều.
- Nếu lục giác nội tiếp đường tròn và cạnh bằng bán kính, đó là lục giác đều.
Hình lục giác đều là gì
Hình lục giác đều là hình lục giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
Nói cách khác, nếu một hình có sáu cạnh, sáu góc và thỏa mãn hai điều kiện trên, ta có thể kết luận đó là hình lục giác đều.
Trong hình lục giác đều, mỗi góc trong bằng 120 độ.
Cách 1 chứng minh sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau
Đây là cách chứng minh trực tiếp nhất.
Muốn chứng minh lục giác ABCDEF là lục giác đều, ta chứng minh:
AB = BC = CD = DE = EF = FA
và
góc A = góc B = góc C = góc D = góc E = góc F
Khi đó, lục giác ABCDEF là hình lục giác đều.
Cách 2 chứng minh bằng đường tròn ngoại tiếp
Nếu sáu đỉnh của lục giác cùng nằm trên một đường tròn, ta có thể dùng tính chất cung và dây.
Khi các cung nhỏ bằng nhau, các dây tương ứng bằng nhau.
Nếu sáu cung liên tiếp trên đường tròn bằng nhau, sáu cạnh của lục giác bằng nhau và sáu góc cũng bằng nhau.
Vì vậy, lục giác đó là lục giác đều.
Cách 3 chứng minh bằng sáu tam giác đều
Lục giác đều có thể chia thành sáu tam giác đều bằng nhau.
Giả sử O là tâm của lục giác ABCDEF.
Nếu ta chứng minh các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEF và OFA đều là tam giác đều, thì ABCDEF là lục giác đều.
Cách này thường dùng khi đề bài cho tâm hoặc đường tròn ngoại tiếp.
Cách 4 chứng minh cạnh bằng bán kính đường tròn
Nếu lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O và có:
AB = BC = CD = DE = EF = FA = OA
thì lục giác ABCDEF là lục giác đều.
Lý do là mỗi tam giác tạo bởi hai bán kính và một cạnh lục giác đều là tam giác đều.
Cách 5 chứng minh bằng phép quay
Trong một số bài hình học nâng cao, ta có thể dùng phép quay tâm O góc 60 độ.
Nếu phép quay biến A thành B, B thành C, C thành D, D thành E, E thành F và F thành A, thì sáu điểm tạo thành một lục giác đều.
Cách này phù hợp với các bài toán có tính đối xứng.
Dấu hiệu nhận biết hình lục giác đều
- Lục giác có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau.
- Lục giác nội tiếp đường tròn và chia đường tròn thành sáu cung bằng nhau.
- Lục giác được tạo bởi sáu tam giác đều chung một đỉnh.
- Lục giác nội tiếp đường tròn có mỗi cạnh bằng bán kính đường tròn.
Ví dụ minh họa
Cho đường tròn tâm O. Trên đường tròn lấy sáu điểm A, B, C, D, E, F sao cho các cung AB, BC, CD, DE, EF và FA bằng nhau. Chứng minh ABCDEF là hình lục giác đều.
Vì các cung AB, BC, CD, DE, EF và FA bằng nhau nên các dây AB, BC, CD, DE, EF và FA bằng nhau.
Các góc trong của lục giác cũng bằng nhau do chắn các cung bằng nhau.
Vậy ABCDEF là hình lục giác đều.
Bài tập ứng dụng
Bài 1. Cho đường tròn tâm O bán kính R. Trên đường tròn lấy sáu điểm liên tiếp sao cho mỗi cạnh bằng R. Chứng minh sáu điểm đó tạo thành lục giác đều.
Bài 2. Cho lục giác ABCDEF có các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA đều. Chứng minh ABCDEF là lục giác đều.
Bài 3. Cho lục giác ABCDEF có sáu cạnh bằng nhau và mỗi góc trong bằng 120 độ. Chứng minh ABCDEF là lục giác đều.
Đáp án gợi ý
Bài 1. Vì OA = OB = R và AB = R nên tam giác OAB đều. Tương tự với các tam giác còn lại. Do đó lục giác là lục giác đều.
Bài 2. Sáu tam giác đều có các cạnh tương ứng bằng nhau và góc ở tâm bằng 60 độ. Suy ra sáu cạnh và sáu góc của lục giác bằng nhau.
Bài 3. Theo định nghĩa, lục giác có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau là lục giác đều.
Lỗi sai thường gặp
- Chỉ chứng minh sáu cạnh bằng nhau rồi kết luận ngay là lục giác đều.
- Không kiểm tra điều kiện sáu góc bằng nhau.
- Nhầm lục giác có tâm đối xứng với lục giác đều.
- Quên chứng minh các điểm nằm đúng thứ tự trên đường tròn.
Kết luận
Hình lục giác đều có nhiều cách chứng minh khác nhau. Tùy dữ kiện đề bài, học sinh có thể dùng định nghĩa, đường tròn ngoại tiếp, tam giác đều hoặc phép quay để giải nhanh và chính xác.
